Calculus

일변수 실함수의 연쇄법칙을 증명해보자. 보통 고등학교 교과서, 혹은 기초미적분학 교재에는 다음과 같은 (가짜) 증명을 슬쩍 소개하고 있다. \( (f(g(x)))'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \)\( =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \)\( =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta g}{\Delta x} = f'(g(x))g'(x) \) 그러나 여기서 $\Delta x\to 0$일 때, $\Delta g$가 $0$일…

사잇값 정리. 함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 있는 임의의 $y_0$에 대하여, $y_0=f(c)$를 만족시키는 $c$가 구간 $(a, b)$에 존재한다. 증명 편의상 \( f(a)< y_0 < f(b) \)로 두고 집합 $ A=\{ x\in [a, b]\mid f(x) < y_0\} $를 생각하자. $a\in A$이고 $A\subset [a, b]$이므로 $A$는 공집합이 아니고 유계인 집합이다. 실수의 완비성 공리에 의해 $A$의 최소상계 $x_0\in\mathbb{R}$이 존재한다.…

Theorem (Bernoulli's Inequality) Let \(\alpha\) be a positive real number and \(\delta\geq -1\). If \(0< \alpha\leq 1\), the \( (1+\delta)^\alpha \leq 1+\alpha\delta, \) and if \(\alpha\geq 1\), then \( (1+\delta)^\alpha\geq 1+\alpha\delta. \) Proof. Assume \(0< \alpha\leq 1\). Let \(f(x)=x^\alpha\). By the mean value theorem, \( f(1+\delta)=f(1)+\alpha\delta c^{\alpha-1} \) for some \(c\) between \(1\) and \(1+\delta\). If \(\delta>0\), then \(c>1\). Since…

이 포스트에는 다변수 미적분의 내용 중 고전역학과 관련있는 몇 가지 기초 연습문제 풀이를 써두었다. 4번째 문제가 바로 2018학년도 수능시험에서 화제가 되었던 뉴턴의 구각정리에 대한 수학적인 계산이다. 문제 1. 다음 강체의 관성모멘트를 계산하여라. 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도 \(\rho\)의 원판 (단, 회전축은 원판의 중심을 지나고 원판에 수직인 직선) 힌트: \(\mathrm{d}m=\rho 2\pi r\mathrm{d}r\). 답은 \(\frac{1}{2}ma^{2}\). 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도…

1. 역사적 단상 갈릴레오는 (중심각이 $90^\circ$인) 원호 모양의 철사에 구슬을 꿰었을 때, 마찰없이 구슬이 미끄러지는데 걸리는 시간을 생각하였다. 미적분의 이론을 통해 구슬의 강하시간을 계산하면 \( \sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\sin^2\beta}}\ \mathrm{d}\beta \) 이고, 이는 약 $1.8541\sqrt{L/g}$이다. 갈릴레오는 원호를 다각선으로 근사시켰을 때의 구슬의 낙하시간은 항상 [원호를 따라 낙하하는 구슬]의 낙하시간보다 크다고 추론하였다. (자세한 내용이 참고도서 [2]의 6.1절에 소개되어있다.) 어떤 사람들은 갈릴레오가 최단강하선이 원호임을 주장했다고 하는데,…

마침 잉여력이 좀 있어서 풀어 본 중등임용시험 2점짜리 기출문제이다. 첫 문제 정도로 나오는 매운 쉬운 문제인 듯 하다. 일단 문제를 보자마자, \(\sin\sqrt{x}\) 때문에, 간단히 식이 정리되어야만 함을 직감할 수 있다. 그리고 물론 식이 아주 간단하게 정리된다. 문제. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \( D=\left\{ (x, y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 9\right\} \) 일 때, 함수 \(f : D\to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \( f(x,…