binomial theorem – Coslimites

여기서는 기초 조합론 수준의 이항정리를 간단히 살펴본다. 일반화된 이항정리와 관련된 글은 "일반화된 이항정리의 두 가지 증명"이라는 제목의 포스트(바로가기)를 참조하라. 식

(a + b)^{n}

을 전개했을 때,

a^{i} b^{j}

의 계수는 무엇일까? 식

(a + b)^{n}

을

\underset{n 개의 (a + b) 의 곱}{\underset{⏟}{(a + b) (a + b) (a + b) (a + b) \dots (a + b)}}

으로 나타내어,

n

개의 인수 중

i

개의 인수에서

a

를 택하고 나머지

j

개의 인수에서

b

를 택하여 곱한 것으로 항

a^{i} b^{j}

가 만들어진다는 것을 알 수 있다. 따라서

(a + b)^{n}

를 전개하여 얻는…

고등학교에서 배우는 이항정리란 자연수

n

에 대하여 등식

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

가 성립한다는 정리이다. 여기서 기호

(\binom{n}{k})

는

(\binom{n}{k}) =_{n} C_{r} = \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k!}

를 나타내며, 이 글에서는 편의상 이 기호를 고등학교에서 많이 쓰는 기호인

_{n} C_{r}

를 대신하여 사용하기로 한다. 식 (1)의 좌변에

a = 1, b = x

를 대입하면 다음 등식을 얻는다.

(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k}

이 식은 이항정리의 특별한 경우로 각 변이 다항함수의 형태이다. 이 등식을 일반화한 정리가…