Introduction to Modern Geometry #3
Scribed by Yeohyeon Lee
1.5 등장사상 더 살펴보기
- 등장사상 \(F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(F\)는 곡선의 길이를 보존한다. 즉, 길이를 갖는 곡선 \(\alpha\)에 대하여 \(L(\alpha)=L(F(\alpha))\).\footnote{물론 \(L\)은 곡선의 길이를 재는 함수.}
- \(F\)는 선분을 선분으로 직선을 직선으로 보낸다. 왜냐하면 서로 다른 임의의 두 점 \(P, Q\in\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 \[ d(P, Q)=d(F(P), F(Q)) \] 가 성립하는데, 좌변은 \(P, Q\)를 양 끝점으로 갖는 선분의 길이이고, 우변은 \(F(P), F(Q)\)를 양 끝점으로 갖는 선분의 길이이다. 즉 두 점을 잇는 최단경로는 두 점을 잇는 같은 길이의 최단 경로로 간다.
- \(F\)는 중심이 \(A\)이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(C_{1}\)을 중심이 \(F(A)\)이고 반지름의 길이가 \(R\)인 원 \(C_{2}\)로 보낸다. 왜냐하면 \(C_{1}\) 위의 임의의 점 \(X\)에 대하여 \[ R=d(A, X)=d(F(A), F(X)) \] 가 성립하고, 이미 \(F\)가 onto임을 알고 있으므로 \[ \forall Q\in C_{2},\ \exists Q'\in \mathbb{R}^{2}\quad\mbox{s.t.}\quad F(Q')=Q \] 이며 여기서 \(d(A, Q)=d(F(A), Q)=R\)이 성립하기 때문이다.
- \(F\)는 각을 보존한다. 이것은 호의 길이가 동일 할수밖에 없으므로 자명한 사실이다. 이를 기하학적으로 살펴볼 수도 있다. 즉 서로 만다는 두 직선을 \(F\)로 옮긴것을 생각할 때, 그 교점을 중심으로하는 단위원도 옮겨진 직선들의 교점을 중심으로하는 단위원으로 옮겨진다. 그 단위원의 일부인 호의 길이로 각을 잴 것인데, 곡선의 길이 역시 \(F\)가 보존하므로 각의 크기도 보존되는 것이다.
Remark. 사실상 \(F\)에 의해서는 geometric한 정보들의 변화가 없으므로 \(\mathbb{R}^{2}\)에 살고 있는 사람의 입장에서는 \(F\)의 의한 변화를 인지하지 못 할 것이라고 말할 수 있다.\par 한편, 직선을 직선으로 보내는 사상이 affine map임을 알고 있다면, 예를 들어 두 좌표계에서 한쪽의 등속직선운동이 다른쪽에서도 늘 등속직선운동으로 관찰된다면, 두 좌표계 사이의 변환이 affine map이라는 식의 이해도 가능 할 것이다.
- 이번에는 여러 가지 isometry의 예를 살펴보자.\footnote{사실 지난시간에 확인해보았듯이, 지금 다시 쓰는 등장사상들, 이들이 모든 등장사상을 생성한다.}
- [평행이동] $v$가 고정된 한 벡터일 때, \(F(p)=p+v\)로 정의된 \(F: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\)는 isometry이다.
- [회전] \(\mathbb{R}^{2}\) 위에서 \[ \begin{pmatrix} p_{1} \\ p_{2} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{1} \\ p_{2} \end{pmatrix} \] 로 주어지는 사상은 등장사상이다. 회전이동이라는 해석을 모든다고 하더라도, 단순계산을 통해 이 사상이 두 점 사이의 거리를 보존하는 사상이라는 것을 확인할 수 있다.
- [반사] 평면의 한 직선 \(\ell\)이 주어졌을 때, 평면의 모든 점들을 \(\ell\)에 대하여 대칭이동시키는 사상도 등장사상이다.
Theorem . 임의의 등장사상 \(F:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}\)는 평행이동, 회전, 반사의 적당한 합성으로 표현된다.
Proof. 아이디어 스케치를 해보는 정도만 살펴본다. 두 좌표축이 어떻게 옮겨가는가에 대한 이야기를 쉽게 설명할 수 있을 것이다. 등장사상에 의해 직선이 직선으로가고 각의 크기도 보존되니, 두 좌표축은 직교하는 두 직선으로 옮겨진다. 좌표축에 있지 않은 다른 점들의 이동은 좌표축이 어떻게 옮겨갔느냐에 따라 완전히 결정되게 된다. 그러니 좌표축이 옮겨가는 방법이 가능한 isometry들을 모두 설명하게 되는 것인데, 물론 좌표축들이 옮겨가는 방법은 평행이동, 회전, 그리고 반사를 통해 모두 설명할 수 있다.
Definition \(\mathscr{D, D'}\)이 \(\mathbb{R}^{2}\)의 두 도형일 때, \(\mathscr{D}\cong \mathscr{D}'\)라는 것은 \(F(\mathscr{D})=\mathscr{D}'\)을 만족시키는 등장사상 \(F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\)가 존재한다는 뜻이다.
- 삼각형의 합동조건들을 isometry로부터 이끌어 낼 수 있을까?
- 등장사상들 전체의 모임은 하나의 군을 이룬다. 이 등장사상들에 대하여 공간이 어떻게 반응하는가를 살피는 것이 그 공간을 살펴보는 것이라고 할 수 있겠다. 때로는 변환군의 부분군을 가지고 공간을 살펴보기도 하고 그런 것이지.
- 왜 하필, ``군''에 의미를 부여할 수 있는 것일까. 변환\dotemph{군}을 살펴본다는 것이 아직은 마음에 와닿는 느낌은 아니다. 물론 내가 생각하는 어떤 대상들의 모임이 하나의 대수적구조도 갖고 있으면 기분이 좋기는 하지. 변환군에 주목한다는 것이, 기하를 공부하다보니 공부하고 있는 변환들이 군을 이루길래 보기 좋았다는 이야기인지, 아니면 특별히 군을 이루는 변환들을 모아서 살펴보는 것이 의미가 있는 것인지. 진정으로 와닿으려면 기하를 더 공부해야겠지.
Theorem .
- 임의의 평행이동은 반사의 합성으로 표현된다.
- 임의의 회전은 반사의 합성으로 표현된다.
Proof.
- \(F\)가 벡터 \(\grave{v}\)에 의한 평행이동이라 하자. \begin{center} \includegraphics[width=.5\textwidth]{example-image} \end{center}
- \(F\)가 원점을 중심으로하고 양의 방향으로 \(\theta\)만큼 회전이동하는 사상이라고 하자. \begin{center} \includegraphics[width=.5\textwidth]{example-image} \end{center}
- [숙제] 바로 위의 증명의 생략된 부분을 직접 완성해보자. 그리고 isometry의 언어로 삼각형의 내각의 합이 $180^{\circ}$임을 보여보자. 임의의 삼각형의 내각의 합이 $180^{\circ}$인 것이 유클리드의 평행선 공준과 동치가 된다는 것은 유명한 이야기이다.