곡선을 표현하는 방법

곡선을 표현하는 방법을 생각해보자.

먼저 기본적으로 생각할 수 있는 것은, 함수 $y=f(x)$가 있을 때, 그 그래프는 하나의 곡선을 나타냄을 알 수 있다. 예를 들어 중학교에서 그림을 그려보았던, $y=x^2$의 경우 그 그래프는 포물선이라는 곡선을 나타낸다. 마찬가지로 생각해보면 $x=g(y)$라는 $y$에 대한 함수도 하나의 곡선을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 즉 $x=y^2$의 경우도 하나의 포물선을 나타내게 된다.

여기서 $y=f(x)$나 $x=g(y)$와 같은 표현에서는 하나의 변수를 독립변수, 나머지 변수를 종속변수로 생각하는 것이므로 변수 $x,$ $y$가 동등(?)한 느낌을 주지는 않는다. 그런데 이들을 $y-f(x)=0$나 $x-g(y)=0$처럼 바꾸어 써보면 이들은 모두 \[ F(x,\,y)=0 \] 와 같은 형태라 할 수 있고, 이때 $x$와 $y$를 모두 동등하게 취급하고 있다는 느낌도 들어 마음이 한 결 개운하다.

또한 $F(x,\,y)=0$ 꼴의 식은 함수의 그래프로 나타내는 곡선들 뿐만아니라 더욱 다양한 형태의 곡선을 표현할 수 있다. 즉 ‘원’의 경우, $x^2+y^2=r^2$과 같은 식으로 표현된다. 물론 이 식을 굳이 함수의 식으로 표현하고자하여 $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$으로 쓸 수도 있겠지만 이는 아름답지 못한 느낌이다. 아무튼 방정식 \[ F(x,\,y)=0 \] 은 하나의 곡선을 나타내는 식으로 생각할 수 있다. 실제로 위와 같은 형태의 식이 편리한 것은 $x,$ $y$를 실수범위에 국한하지 않고 복소수 범위까지 확장한 형태의 식으로 복소변수 $x,$ $y$에 대한 다항식이 될 때라고 한다. 그리고 이는 주로 대수기하(라는 끔찍한 혼종)의 분야에 속한다고 한다.

미분기하의 입장에서 볼 때, 가장 편리하게 곡선을 표현하는 방법은 바로 매개변수를 이용하여 곡선을 표현하는 것이다. 예를 들어 \[ x=t,\quad y= t^2 \] 으로 쓴 식은 $t$라는 매개변수를 이용하여 하나의 점을 나타내게 되는 것인데, $t$가 취하는 범위가 만일 실수 전체라면 위의 식은 바로 포물선 $y=x^2$을 나타내는 식이 된다. 어차피 도형이라는 것이 점들의 모임이니, 그 모임을 이루는 각각의 점들을 표현해주는 것이니 위의 표현방법은 하나의 곡선을 아주 잘 나타내는 방법이라 할 수 있겠다. 이 표현방법을 이용해서 원을 나타낸다면 \[ x=\cos t,\quad y=\sin t\quad (0\leq t\leq 2\pi) \] 로 쓸 수 있겠다. 일반적으로 변수 \(t\)가 구간 \( [a,\,b]\)의 값을 취할 때, \(t\)에 관한 함수들 \[ x=x(t),\quad y=y(t) \] 를 생각해보자. \(t\)가 움직일 때, \[ (x(t),\,y(t)) \] 는 평면상에 곡선을 그린다. 앞에서 생각한 함수 \(y=f(x)\)의 그래프의 경우 \(x=t,\) \(y=f(t)\)로 쓸 수 있다.

매개변수를 이용한 곡선표현은 \(t\)를 시간변수로 생각하여 \(t\)가 변화함에 따라 점 \((x(t),\,y(t))\)가 움직인다고 생각할 수도 있다. 일반적안 \(n\)차원 공간에서는 역시 \[ x_1=x_1(t),\quad x_2=x_2(t), \cdots,\quad x_n=x_n(t) \] 의 \(n\)개의 실함수들을 이용하여 곡선을 나타낼 수 있다. 그리고 여러개의 함수를 쓰기 귀찮을 때는 물론 \[ \pmb{\alpha}=\pmb{\alpha}(t) \] 와 같이 일변수 벡터값함수를 나타내는 기호를 쓴다.