위상수학을 위한 연습문제 몇 가지 #1

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 점집합 위상수학의 연습문제 몇 가지를 풀어보자.
문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 A.

Proof. $\varphi_1 : Y_1\to \varphi_1(Y_1)$가 homeomorphism인 것을 보이자. ($\varphi_2$의 경우는 같은 방법으로 보일 수 있다.)
우선 $\varphi_1$은 연속함수 $\pi$의 제한사상이므로 연속함수이다. 그러므로 $\varphi_1$이 단사이고 closed map인 것만 보이면 된다. $\varphi_1$이 단사인 것은 동치관계 $\sim$을 생각해보면 거의 자명한데, 실제로 임의의 $y_1, y_1'\in Y_1$에 대하여 \begin{align*} \varphi_1(y_1)=\varphi_1(y_1')\quad& \Leftrightarrow\quad \pi(y_1)=\pi(y_1')\quad \\ & \Leftrightarrow\quad y_1\sim y_1'\quad \Leftrightarrow\quad y_1=y_1'\quad(\because y_1, y_1'\in Y_1) \end{align*} 로부터 확인된다. 이제 $\varphi_1$이 closed map인 것을 보이자. 이를 위해 $K$가 $Y_1$의 닫힌 부분집합이라하고 $\varphi_1(K)$가 $Y$에서 닫힌집합임을 보이면 된다. ($\varphi_1(K)$의 닫힘여부를 살피기 위해 $Y$의 위상의 정의를 생각하자.)
상위상의 정의에 의해 $\varphi_1(K)$가 $Y$에서 닫힌집한인 것은 $\pi^{-1}(\varphi_1(K))$가 $Y_1\amalg Y_2$에서 닫힌집합이라는 뜻이다. 그런데 \begin{align*} x\in\pi^{-1}(\varphi_1(K))\quad & \Leftrightarrow\quad \pi(x)\in \varphi_1(K) \\ & \Leftrightarrow\quad [ x\in K\ \mbox{or}\ x\in\vartheta(K\cap K_1) ] \end{align*} 이므로 \[ \pi^{-1}(\varphi_1(K))=K\cup ( \vartheta(K\cap K_1)) \] 이 성립한다. 여기서 $K$는 $Y_1$의 닫힌집합이고 (따라서 $K\cap K_1$은 $Y_1$의 닫힌집합이며) $\vartheta(K\cap K_1)$은 homeomorphism에 의한 닫힌집합의 상이므로 $K_2$의 닫힌집합이다. 이는 $\vartheta(K\cap K_1)$이 $Y_2$의 닫힌집합이라는 뜻이고 따라서 $\pi^{-1}(\varphi(K))$는 $Y$에서 닫힌집합이다. 따라서 $\varphi_1 : Y_1\to \varphi_1(Y_1)$은 homeomorphism이다.

Solution 우선 다음 보조정리를 증명하자.

Proof $K$는 compact인 $X$의 닫힌부분집합이므로 $K$도 compact이다. 이를 이용하여 $U, V$를 잡자. $K$의 임의의 점 $p$에 대하여, $X$가 Hausdorff이므로 \[ p\in U_p,\quad a\in V_p,\quad U_p\cap V_p=\varnothing \] 을 만족시키는 두 열린집합 $U_p, V_p$가 존재한다. 각 $p\in K$에 대한 $U_p$를 모두 모아놓은 집합족 \[ \{ U_p \mid p\in K \} \] 는 $K$의 open cover이다. 이때 $K$가 compact이므로 \[ \exists U_{p_1}, \ldots, U_{p_n}\quad\mbox{s.t.}\quad K\subset\bigcup_{i=1}^n U_{p_i} \] 가 성립한다. 이제 \[ U:=\bigcup_{i=1}^n U_{p_i},\quad V:=\bigcap_{i=1}^n V_{p_i} \] 로 두면, $U, V$는 disjoint한 open set들이고 $a\in V, K\subset U$를 만족시킨다.

이제 이 보조정리를 이용하여 주어진 문제의 명제를 증명하자. (위의 증명을 조금만 응용하면 된다.)
집합 $K$의 임의의 점 $p$에 대하여, $p\not\in L$이므로 위의 보조정리에 의해 \[ p\in U_p,\quad L\subset V_p,\quad U_p\cap V_p=\varnothing \] 을 만족시키는 두 열린집합 $U_p, V_p$가 존재한다. 이때 $K$의 각 점 $p$에 대한 $U_p$를 모두 모아놓은 집합족 \[ \{ U_p \mid p\in K\} \] 는 $K$의 open cover이다. $K$가 compact이므로 \[ \exists U_{p_1}, \ldots, U_{p_n}\quad\mbox{s.t.}\quad K\subset\bigcup_{i=1}^n U_{p_i} \] 가 성립한다. 이제 \[ U:=\bigcup_{i=1}^n U_{p_i},\quad V:=\bigcap_{i=1}^n V_{p_i} \] 로 두면, $U, V$는 disjoint한 open set들이고 $L\subset V, K\subset U$를 만족시킨다.

Solution(1) 선택공리에 의해 각 $i\in \mathbb{N}$에 대하여 $a_i\in A_n$을 택할 수 있다. 이때 $\{ a_n\}$은 $K$ 위의 sequence이다. $K$가 compact이면 $K$는 sequentially compact이므로 $K$에서 수렴하는 $\{a_n\}$의 subsequence $\{a_{n_k}\}$를 잡을 수 있다. $a_{n_k}\to p$로 두면, 이 $p$가 바로 원하는 $P$이다. 즉 $p$의 임의의 열린근방 $U_p$에 대하여 $a_{n_k}\not\in U_p$인 $a_{n_k}$는 유한개 뿐이므로 $U_p$에는 무한히 많은 $\{ a_{n_k}\}$의 항이 들어있다. 즉 $U_p$는 무한히 많은 $A_n$들과 만난다.

Solution(2) 결론에 반하여 임의의 $p\in K$에 대하여, 유한개의 $A_n$하고만 만나는 $p$의 근방 $U_p$가 존재한다고 가정하자. 이때 각 $U_p$가 모두 열린근방이라고 가정해도 된다. 집합족 \[ \{ U_p\mid p\in K, \mbox{$U_p$는 유한개의 $A_n$하고만 만나는 $p$의 열린근방}\} \] 는 $K$의 open cover이다. $K$가 compact이므로 \[ \exists U_{p_1}, \ldots, U_{p_n}\quad\mbox{s.t.}\quad K=\bigcup_{i=1}^n U_{p_i} \] 가 성립한다. 그런데 각 $i=1, \ldots, n$에 대하여 $U_{p_i}$는 유한개의 $A_m$하고만 만나므로 적당한 $K_i$가 존재하여 \[ m > K_i\quad \Rightarrow\quad U_{p_i}\cap A_{m}=\varnothing \] 이 성립한다. 이제 $K:=\max\{ K_1, \ldots, K_n\}$로 두면 \[ m>K\quad\Rightarrow\quad K=\bigcup_{i=1}^n U_{p_i}\cap A_m=\varnothing \] 이다. 이는 충분히 큰 $m$에 대하여$A_m=\varnothing$이라는 뜻이므로 모순이다.

[증명스케치] 볼록한 유계 닫힌집합과 닫힌 단위원판이 위상동형임을 보이는 문제이니, 위상동형사상을 잘 잡으면 될 터. 볼록하게 생긴 도형을 속이 꽉찬 구로 부드럽게 변환하는 함수를 찾는 문제이다. 내부의 한 점을 잡고 그 점을 중심으로 갖는 공으로 부드럽게 변형시키는 것이 자연스럽다. 이때 $K$의 경계는 구면 위로 이동될 것이다. 만약 원하는 함수를 찾았다면, 그 함수는 $K$의 경계와 구면 사이의 homeomorphism이 되어야 할 것이다. 혹은 경계의 점과 $K$안에 들어있는 공의 중심 사이를 잇는 각 선분을 잘 축소시켜주는 사상을 찾고 있다고 말할 수도 있겠다. $K$안에 들어있는 공이 만일 단위구라면, $x\in K$를 $x/\Vert x\Vert \in S^{n-1}$로 대응시키면 $x$가 단위구면 위의 점과 대응이 될 것이다. 평행이동이나 확대 및 축소가 homeomorphism인 것은 자명하니, 처음부터 $K$안에 원점을 중심으로 한 단위구가 포함된다고 생각하고 증명을 시도해본다.

Solution 집합 $K$가 내부가 비어있지 않은 $\mathbb{R}^n$의 볼록한 컴팩트 부분집합이라 하자. $K$의 내부가 비어있지 않으므로 적당한 $p\in K$와 양수 $\varepsilon_0$이 존재하여 $B_{\varepsilon_0}(p)\subset K$를 만족시킨다. $K$를 $-p\in \mathbb{R}^n$방향으로 평행이동시키는 사상은 위상동형사상이므로 $K$가 원점을 중심으로한 $\varepsilon_0$-ball인 $B_{\varepsilon_0}(0)$을 포함하고 있는 집합이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 또한 원점을 중심으로 한 확대사상, $x\mapsto \frac{1}{\varepsilon_0}x$도 homeomorphism이다. 이 확대사상은 $B_{\varepsilon_0}(0)$를 원점을 중심으로 한 단위구 $B_1(0)$으로 사상하므로, 처음부터 $K$는 원점을 중심으로 한 단위구 $B_1(0)$를 포함하고 있는 집합이라 가정하자.
$K$가 유계이므로 원점을 중심으로 갖는 구면 중에서 $K$와 만나지 않는 충분히 큰 반지름을 갖는 구면을 하나 잡을 수 있다. 그 구면 위의 임의의 점과 원점을 잇는 닫힌 선분을 생각할 수 있는데, 이 선분과 $\partial K$는 단 한점에서 만남을 보이자. 구면 위의 임의의 점 $s_0$와 원점을 연결하는 선분을 $R$이라 하자. 그러면 $R$은 유계인 닫힌선분으로 compact이고 $K$도 compact이므로 $R\cap K$도 compact이다. 또한 명백히 $R\cap K\neq \varnothing$이며, $R\cap K$의 점 $x$를 $\Vert x\Vert$로 대응시키는 사상은 compact집합 위에서 정의된 연속함수이므로 최댓값을 갖는다. 즉 원점에서 가장 멀리 떨어진 $R\cap K$의 점 $x_0$가 반드시 존재한다. 이제 $x_0\in\partial K$임을 보이자. 우선 $\Vert x_0\Vert$의 최대성때문에 $a>1$이면 $a x_0\not\in K$이므로 $x_0$의 임의의 근방에는 $K$의 외부의 점이 존재한다. 다음으로 $x_0$의 임의의 근방에 $K$의 내부의 점이 있음을 보이자. 이를 위해 $R\cap K$의 점들 중 $x_0$를 제외한 모든 점이 $K$의 내부의 점임을 보이면 충분하다.
점 $x\in (R\cap K)\setminus\{x_0\}$에 대하여 $x$는 $0$과 $x_0$ 사이의 점이므로 적당한 실수 $t$에 대하여 $x=tx_0$로 둘 수 있다. 이때 물론 $0\leq t<1$이다. 지금 \(K\)가 원점을 중심으로 갖는 반지름 \(1\)짜리 열린 공을 포함하고 있는 것으로 가정하고 있음을 유념하면서, 중심이 $x$인 공 $B_{1-t}(x)$를 생각하자. 임의의 \(y\in B_{1-t}(x)\)가 \(K\)의 원소임을 보이면 \(x\)가 내점임을 보이는 것이 된다. 점 \(z\)를 \[ z:=\frac{y-tx_{0}}{1-t} \] 로 두자. 그러면 \(y\)는 \(z\)와 \(x_{0}\) 사이에 있는 점이다. 그런데 \[ \Vert (1-t) z \Vert = \Vert y-tx_{0}\Vert =\Vert y-x\Vert < 1-t \] 로부터 \( \Vert z\Vert <1 \)을 얻고 따라서 \(z\in B_{1}(0)\subset K\)가 성립한다. 즉 \(z, x_{0}\in K\)이므로 \(K\)의 볼록성에 의해 \(z\)와 \(x_{0}\) 사이에 있는 점인 \(y\)는 \(K\)의 원소이다. 따라서 선분 \(R\cap K\)의 점들 중 \(x_{0}\)를 제외한 모든 점은 \(K\)의 내점이다.
이는 원점으로부터 뻗어나가는 임의의 반직선에 대하여 \(\partial K\)의 단 하나의 점이 대응됨을 뜻한다. 역으로 \(\partial K\)의 임의의 점에 대하여 원점에서 출발하여 그 점을 지나가는 단 하나의 반직선이 대응된다. 더욱이 이들 각각의 반직선들은 처음에 생각했던 충분히 큰 구면 위의 한 점과 1-1 대응된다. 따라서 \[ f(x)=\frac{x}{\Vert x\Vert} \] 와 같이 정의한 함수 \(f : \partial K\to S^{n-1}\)은 전단사함수이다. 함수 \(f\)는 [$\mathbb{R}^n$ 위의 항등함수에 연속인 실함수를 곱하여 얻은 함수]의 제한함수로 이해할 수 있으므로 연속임을 알 수 있다. 더욱이 \(f\)는 compact 집합에서 Hausdorff 공간으로 가는 연속함수이므로 closed map이다. 요컨대 \(f\)는 homeomorphism이다.
이제 함수 \(h : D^{n}\to K\)를 \[ h(x):=\begin{cases} \Vert x\Vert f^{-1}\left(\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\right) & (x\neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases} \] 로 정의하자. 이 함수가 homeomorphism을 보이면 이 문제의 풀이를 완성하는 것이 된다. \(h\)는 명백히 잘 정의된 함수이다. 그리고 식을 잘 살펴보면, 원점과 단위구면 위의 한 점을 연결한 각각의 선분을 원점과 \(\partial K\)를 연결한 선분으로 확대한 다음 적절하게 다시 축소하는 사상임을 알 수 있다. 좀 더 구체적으로는 \(x\in \operatorname{int}(D^{n})\)일 때, \(x\)는 원점과 단위구면 위의 점 \(x/\Vert x\Vert\)를 \(\Vert x\Vert : 1\)로 내분하는 점인데, 함수 \(h\)는 이 점을 원점과 [원점에서 출발하여 \(x\)를 지나는 반직선이 \(\partial K\)와 만나는 점]을 \(\Vert x\Vert : 1\)로 내분하는 점으로 옮긴다. 또한 $x\in \partial D^n$는 $h$에 의해 $x$를 [원점에서 출발하여 \(x\)를 지나는 반직선이 \(\partial K\)와 만나는 점]으로 옮겨진다. 즉 \(h\)는 단위구 각각의 반지름을 [그 반지름을 \(K\)의 경계의 점까지 연장하여 얻는 닫힌 선분]으로 확대하는 사상이다.\footnote{각 반지름을 연장하여 얻는 반직선 위에 \(\partial K\)의 점이 반드시 유일하게 존재함을 알고 있다. 또한 원점과 $\partial K$의 점을 연결한 선분의 모든 점은 $K$의 점이라는 것도 알고 있다.} 이는 \(h\)가 전사함수임을 뜻한다. 또한 서로 다른 반지름은 서로 다른 반직선으로 확대되므로 \(h\)가 단사함수인 것도 분명하다. \(h\)의 연속성은 원점에서의 연속성만 따져보면 되는데 이는 함수 \(f^{-1}\)가 유계인 함수인 것으로부터 바로 얻어진다. 마지막으로 \(h\)가 closed map인 것은 앞서 \(f\)의 경우와 마찬가지로, \(h\)가 compact 집합에서 Hausdorff 공간으로 가는 연속함수인 것으로부터 얻는다.