Problem Solving

이 포스트에는 다변수 미적분의 내용 중 고전역학과 관련있는 몇 가지 기초 연습문제 풀이를 써두었다. 4번째 문제가 바로 2018학년도 수능시험에서 화제가 되었던 뉴턴의 구각정리에 대한 수학적인 계산이다. 문제 1. 다음 강체의 관성모멘트를 계산하여라. 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도 \(\rho\)의 원판 (단, 회전축은 원판의 중심을 지나고 원판에 수직인 직선) 힌트: \(\mathrm{d}m=\rho 2\pi r\mathrm{d}r\). 답은 \(\frac{1}{2}ma^{2}\). 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도…

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 대수학 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 C. Exercise C.5 If an abelian group $C$ contains subgroup $A$ and $B$ such that every element of $C$ can be written as a sum of an element in $A$ and an element in $B$, and $A\cap B=\{0\}$, show that $A\oplus B$ is…

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 점집합 위상수학의 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 A. Proposition $Y_1, Y_2$가 disjoint한 topological spaces이고 $K_1, K_2$가 각각 $Y_1, Y_2$의 closed subset이라 하자. 그리고 $\vartheta : K_1\to K_2$는 homeomorphism이라 하자. 집합 $Y_1\amalg Y_2$ 위에 관계 $\sim$을 $\forall y_i \in Y_i,\ y_i\sim y_i$ $\forall y_1\in K_1,\ y_1\sim\vartheta(y_1)$ 으로 정의하면 $\sim$는 잘…

마침 잉여력이 좀 있어서 풀어 본 중등임용시험 2점짜리 기출문제이다. 첫 문제 정도로 나오는 매운 쉬운 문제인 듯 하다. 일단 문제를 보자마자, \(\sin\sqrt{x}\) 때문에, 간단히 식이 정리되어야만 함을 직감할 수 있다. 그리고 물론 식이 아주 간단하게 정리된다. 문제. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \( D=\left\{ (x, y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 9\right\} \) 일 때, 함수 \(f : D\to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \( f(x,…