Mathematics

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 점집합 위상수학의 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 A. Proposition $Y_1, Y_2$가 disjoint한 topological spaces이고 $K_1, K_2$가 각각 $Y_1, Y_2$의 closed subset이라 하자. 그리고 $\vartheta : K_1\to K_2$는 homeomorphism이라 하자. 집합 $Y_1\amalg Y_2$ 위에 관계 $\sim$을 $\forall y_i \in Y_i,\ y_i\sim y_i$ $\forall y_1\in K_1,\ y_1\sim\vartheta(y_1)$ 으로 정의하면 $\sim$는 잘…

Introduction to Algebraic Topology #2 Scribed by Yeohyeon Lee 2.2 Connected Componoents 위상공간 \( (X, \mathscr{T})\)의 부분공간 \(A\)가 disconnected라는 것은 \( \exists U, V\in\mathscr{T}\setminus\{\varnothing\}\, \mbox{s.t.}\, [ U\cap V=\varnothing, A\subset (U\cap A)\cup (V\cap A) ] \) 라는 뜻이다. 그리고 \(A\)가 connected라는 것은 \(A\)가 disconnected가 아니라는 뜻이다. 연결집합에 대하여 다음이 성립한다. Theorem 2.1 함수 \(f : X\to Y\)이 연속이고 \(X\)가 connected이면 \(f(X)\)도…

Introduction to Algebraic Topology #1 Scribed by Yeohyeon Lee 1. Introduction 1.1 중등수학과의 연계 위상수학과 중등수학의 연계로는 어떤 것들을 생각해볼 수 있을까? 함수의 연속: 중등수학의 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$라는 것은, 함수 $f : X\to Y$와 $a\in X$가 있을 때, 임의의 $f(a)$의 열린근방 $U(\subset Y)$에 대하여 $f^{-1}(U)$가 $a$의 근방이라는 뜻이다. 사잇값 정리: 연속함수 $f : [-1, 1]\to [-1, 1]$, where $f(\pm)=\pm 1$이 있을…

선형 계획법의 기초 Scribed by Yeohyeon Lee 1. Preliminaries 1.1 Affine Sets 이 강좌에서 생각하는 벡터공간은 \(\mathbb{R}\) 위의 벡터공간 \(\mathbb{R}^{n}\)이다. 그리고 기본적인 벡터공간의 정의 등은 알고 있는 것으로 가정한다. Definition. (Affine Set) A subset \(M\) of \(\mathbb{R}^{n}\) is called an affine set if \( (1-\lambda)x+\lambda y\in M \) for all \(x, y\in M\) and for all \( \lambda\in\mathbb{R}\). Example 1.…

곡선을 표현하는 방법을 생각해보자. 먼저 기본적으로 생각할 수 있는 것은, 함수 $y=f(x)$가 있을 때, 그 그래프는 하나의 곡선을 나타냄을 알 수 있다. 예를 들어 중학교에서 그림을 그려보았던, $y=x^2$의 경우 그 그래프는 포물선이라는 곡선을 나타낸다. 마찬가지로 생각해보면 $x=g(y)$라는 $y$에 대한 함수도 하나의 곡선을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 즉 $x=y^2$의 경우도 하나의 포물선을 나타내게 된다. 여기서 $y=f(x)$나 $x=g(y)$와 같은 표현에서는 하나의…

마침 잉여력이 좀 있어서 풀어 본 중등임용시험 2점짜리 기출문제이다. 첫 문제 정도로 나오는 매운 쉬운 문제인 듯 하다. 일단 문제를 보자마자, \(\sin\sqrt{x}\) 때문에, 간단히 식이 정리되어야만 함을 직감할 수 있다. 그리고 물론 식이 아주 간단하게 정리된다. 문제. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \( D=\left\{ (x, y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 9\right\} \) 일 때, 함수 \(f : D\to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \( f(x,…

고등학교에서 배우는 이항정리란 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \( (a+b)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k \label{eq:1}\)가 성립한다는 정리이다. 여기서 기호 \(\binom{n}{k}\)는 \(\binom{n}{k}={}_n\mathrm{C}_r=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\)를 나타내며, 이 글에서는 편의상 이 기호를 고등학교에서 많이 쓰는 기호인 \({}_n\mathrm{C}_r\)를 대신하여 사용하기로 한다. 식 (1)의 좌변에 \(a=1, b=x\)를 대입하면 다음 등식을 얻는다. \( (1+x)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k \) 이 식은 이항정리의 특별한 경우로 각 변이 다항함수의 형태이다. 이 등식을 일반화한 정리가…