Mathematics

사잇값 정리. 함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 있는 임의의 $y_0$에 대하여, $y_0=f(c)$를 만족시키는 $c$가 구간 $(a, b)$에 존재한다. 증명 편의상 \( f(a)< y_0 < f(b) \)로 두고 집합 $ A=\{ x\in [a, b]\mid f(x) < y_0\} $를 생각하자. $a\in A$이고 $A\subset [a, b]$이므로 $A$는 공집합이 아니고 유계인 집합이다. 실수의 완비성 공리에 의해 $A$의 최소상계 $x_0\in\mathbb{R}$이 존재한다.…

Theorem (Bernoulli's Inequality) Let \(\alpha\) be a positive real number and \(\delta\geq -1\). If \(0< \alpha\leq 1\), the \( (1+\delta)^\alpha \leq 1+\alpha\delta, \) and if \(\alpha\geq 1\), then \( (1+\delta)^\alpha\geq 1+\alpha\delta. \) Proof. Assume \(0< \alpha\leq 1\). Let \(f(x)=x^\alpha\). By the mean value theorem, \( f(1+\delta)=f(1)+\alpha\delta c^{\alpha-1} \) for some \(c\) between \(1\) and \(1+\delta\). If \(\delta>0\), then \(c>1\). Since…

이 포스트에는 다변수 미적분의 내용 중 고전역학과 관련있는 몇 가지 기초 연습문제 풀이를 써두었다. 4번째 문제가 바로 2018학년도 수능시험에서 화제가 되었던 뉴턴의 구각정리에 대한 수학적인 계산이다. 문제 1. 다음 강체의 관성모멘트를 계산하여라. 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도 \(\rho\)의 원판 (단, 회전축은 원판의 중심을 지나고 원판에 수직인 직선) 힌트: \(\mathrm{d}m=\rho 2\pi r\mathrm{d}r\). 답은 \(\frac{1}{2}ma^{2}\). 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도…

1. 역사적 단상 갈릴레오는 (중심각이 $90^\circ$인) 원호 모양의 철사에 구슬을 꿰었을 때, 마찰없이 구슬이 미끄러지는데 걸리는 시간을 생각하였다. 미적분의 이론을 통해 구슬의 강하시간을 계산하면 \( \sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\sin^2\beta}}\ \mathrm{d}\beta \) 이고, 이는 약 $1.8541\sqrt{L/g}$이다. 갈릴레오는 원호를 다각선으로 근사시켰을 때의 구슬의 낙하시간은 항상 [원호를 따라 낙하하는 구슬]의 낙하시간보다 크다고 추론하였다. (자세한 내용이 참고도서 [2]의 6.1절에 소개되어있다.) 어떤 사람들은 갈릴레오가 최단강하선이 원호임을 주장했다고 하는데,…

Introduction to Modern Geometry #3 Scribed by Yeohyeon Lee 1.5 등장사상 더 살펴보기 등장사상 \(F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 다음이 성립한다. \(F\)는 곡선의 길이를 보존한다. 즉, 길이를 갖는 곡선 \(\alpha\)에 대하여 \(L(\alpha)=L(F(\alpha))\).\footnote{물론 \(L\)은 곡선의 길이를 재는 함수.} \(F\)는 선분을 선분으로 직선을 직선으로 보낸다. 왜냐하면 서로 다른 임의의 두 점 \(P, Q\in\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 \( d(P, Q)=d(F(P), F(Q)) \) 가 성립하는데, 좌변은 \(P, Q\)를 양…

Introduction to Modern Geometry #1~2 Scribed by Yeohyeon Lee Introduction 기하학이란 무엇일까? Felix Klien의 정의까지 가지 않더라도 우리의 마음속엔 기하학이란 `공간'에 대한 공부라는 것이 떠오른다. 이 책에 담겨있는 많은 내용들은 이제 고전기하 혹은 근대기하 정도로 소개할 수 있을 법하다. 유클리드 기하와 비유클리드 기하로 구분하자면, 이 책의 제1, 3, 5장은 유클리드 기하, 제2, 4장은 비유클리드 기하라 할 수 있겠다. 공간에 대한…

이 글은 1999/2006년에 발행된 책인 [곡선과 곡면의 미분기하학(쇼시치 고바야시/청문각)]의 ``맺는말''을 발췌한 것이다. 이 책은 저명한 기하학자 쇼시치 고바야시의 일본어교재를 경희대학교의 김병학교수님이 번역하여 출간한 책이다. 현재는 절판되어 구입이 불가능한 듯 하다. %(내가 갖고 있는 책이 글씨가 희미해져서 다시 구입하고 싶은데, 구입할 길이 없는 듯.) 그 유명한 고바야시의 미분기하교재와는 다른 책으로 매우 친절하게 이야기를 전개하는 학부수준 교재이다. 이 교재의 맺는말에 해당하는 부분이…

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 대수학 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 C. Exercise C.5 If an abelian group $C$ contains subgroup $A$ and $B$ such that every element of $C$ can be written as a sum of an element in $A$ and an element in $B$, and $A\cap B=\{0\}$, show that $A\oplus B$ is…

Introduction to Algebraic Topology #5 Scribed by Yeohyeon Lee 이번 주 수업에는 문제 풀이시간이 좀 있어서, 진도는 조금만 나갔다. $G$가 군이고 $A$가 가환군일 때, 실제로 $\operatorname{Hom}(G, A)$가 군을 이룬다는 것을 보여보자. 그러면 $\operatorname{Hom}(G, A)$는 $\{f : G\to A\mid \mbox{$f$는 함수}\}$의 부분군이라는 것도 보인게 된다. 임의의 $f_1, f_2\in\operatorname{Hom}(G, A)$에 대하여 \forall g, h\in G,\ (f_1+f_2)(gh) =f_1(gh)+f_2(gh) \)\( =…

Introduction to Algebraic Topology #4 Scribed by Yeohyeon Lee 4. Algebra 4.1 Linear Algebra 이 강좌에서는 특별한 언급이 없으면, 늘 실수체 위에서의 벡터공간만을 생각한다. 공집합이 아닌 집합 \(V\)에 대하여 덧셈이라고 부르는 연산 \( +: V\times V\to V \) 와 스칼라곱 \( \cdot : \mathbb{R}\times V\to V \) 가 주어져 있으며 이들 덧셈과 스칼라곱이 \((u+v)+ w= u+(v+w)\), for all \(u, v,…

Introduction to Algebraic Topology #3 Scribed by Yeohyeon Lee 이번 주도 그냥 꾸준히 기초 배경지식을 상기해본다. 2.4 Lebesque Lemma 여기서는 약방의 감초(?)처럼 쓰이는 보조정리 두 개를 살펴본다. Lemma 4.1 [Lebesque Lemma] \(K\)가 compact metric space라 하자. 그리고 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\)가 \(K\)의 임의의 open cover라 하자. 그러면 \( \exists \varepsilon>0\,\mbox{s.t.}\, \left[ \mbox{$\forall S\subset K$, where $\operatorname{diam}(S)N\)와 \(1/n_{k_{0}}

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 점집합 위상수학의 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 A. Proposition $Y_1, Y_2$가 disjoint한 topological spaces이고 $K_1, K_2$가 각각 $Y_1, Y_2$의 closed subset이라 하자. 그리고 $\vartheta : K_1\to K_2$는 homeomorphism이라 하자. 집합 $Y_1\amalg Y_2$ 위에 관계 $\sim$을 $\forall y_i \in Y_i,\ y_i\sim y_i$ $\forall y_1\in K_1,\ y_1\sim\vartheta(y_1)$ 으로 정의하면 $\sim$는 잘…