Messy Notes

Introduction to Modern Geometry #3 Scribed by Yeohyeon Lee 1.5 등장사상 더 살펴보기 등장사상 \(F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 다음이 성립한다. \(F\)는 곡선의 길이를 보존한다. 즉, 길이를 갖는 곡선 \(\alpha\)에 대하여 \(L(\alpha)=L(F(\alpha))\).\footnote{물론 \(L\)은 곡선의 길이를 재는 함수.} \(F\)는 선분을 선분으로 직선을 직선으로 보낸다. 왜냐하면 서로 다른 임의의 두 점 \(P, Q\in\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 \( d(P, Q)=d(F(P), F(Q)) \) 가 성립하는데, 좌변은 \(P, Q\)를 양…

Introduction to Modern Geometry #1~2 Scribed by Yeohyeon Lee Introduction 기하학이란 무엇일까? Felix Klien의 정의까지 가지 않더라도 우리의 마음속엔 기하학이란 `공간'에 대한 공부라는 것이 떠오른다. 이 책에 담겨있는 많은 내용들은 이제 고전기하 혹은 근대기하 정도로 소개할 수 있을 법하다. 유클리드 기하와 비유클리드 기하로 구분하자면, 이 책의 제1, 3, 5장은 유클리드 기하, 제2, 4장은 비유클리드 기하라 할 수 있겠다. 공간에 대한…

Introduction to Algebraic Topology #5 Scribed by Yeohyeon Lee 이번 주 수업에는 문제 풀이시간이 좀 있어서, 진도는 조금만 나갔다. $G$가 군이고 $A$가 가환군일 때, 실제로 $\operatorname{Hom}(G, A)$가 군을 이룬다는 것을 보여보자. 그러면 $\operatorname{Hom}(G, A)$는 $\{f : G\to A\mid \mbox{$f$는 함수}\}$의 부분군이라는 것도 보인게 된다. 임의의 $f_1, f_2\in\operatorname{Hom}(G, A)$에 대하여 \forall g, h\in G,\ (f_1+f_2)(gh) =f_1(gh)+f_2(gh) \)\( =…

Introduction to Algebraic Topology #4 Scribed by Yeohyeon Lee 4. Algebra 4.1 Linear Algebra 이 강좌에서는 특별한 언급이 없으면, 늘 실수체 위에서의 벡터공간만을 생각한다. 공집합이 아닌 집합 \(V\)에 대하여 덧셈이라고 부르는 연산 \( +: V\times V\to V \) 와 스칼라곱 \( \cdot : \mathbb{R}\times V\to V \) 가 주어져 있으며 이들 덧셈과 스칼라곱이 \((u+v)+ w= u+(v+w)\), for all \(u, v,…

Introduction to Algebraic Topology #3 Scribed by Yeohyeon Lee 이번 주도 그냥 꾸준히 기초 배경지식을 상기해본다. 2.4 Lebesque Lemma 여기서는 약방의 감초(?)처럼 쓰이는 보조정리 두 개를 살펴본다. Lemma 4.1 [Lebesque Lemma] \(K\)가 compact metric space라 하자. 그리고 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\)가 \(K\)의 임의의 open cover라 하자. 그러면 \( \exists \varepsilon>0\,\mbox{s.t.}\, \left[ \mbox{$\forall S\subset K$, where $\operatorname{diam}(S)N\)와 \(1/n_{k_{0}}

Introduction to Algebraic Topology #2 Scribed by Yeohyeon Lee 2.2 Connected Componoents 위상공간 \( (X, \mathscr{T})\)의 부분공간 \(A\)가 disconnected라는 것은 \( \exists U, V\in\mathscr{T}\setminus\{\varnothing\}\, \mbox{s.t.}\, [ U\cap V=\varnothing, A\subset (U\cap A)\cup (V\cap A) ] \) 라는 뜻이다. 그리고 \(A\)가 connected라는 것은 \(A\)가 disconnected가 아니라는 뜻이다. 연결집합에 대하여 다음이 성립한다. Theorem 2.1 함수 \(f : X\to Y\)이 연속이고 \(X\)가 connected이면 \(f(X)\)도…

Introduction to Algebraic Topology #1 Scribed by Yeohyeon Lee 1. Introduction 1.1 중등수학과의 연계 위상수학과 중등수학의 연계로는 어떤 것들을 생각해볼 수 있을까? 함수의 연속: 중등수학의 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$라는 것은, 함수 $f : X\to Y$와 $a\in X$가 있을 때, 임의의 $f(a)$의 열린근방 $U(\subset Y)$에 대하여 $f^{-1}(U)$가 $a$의 근방이라는 뜻이다. 사잇값 정리: 연속함수 $f : [-1, 1]\to [-1, 1]$, where $f(\pm)=\pm 1$이 있을…

선형 계획법의 기초 Scribed by Yeohyeon Lee 1. Preliminaries 1.1 Affine Sets 이 강좌에서 생각하는 벡터공간은 \(\mathbb{R}\) 위의 벡터공간 \(\mathbb{R}^{n}\)이다. 그리고 기본적인 벡터공간의 정의 등은 알고 있는 것으로 가정한다. Definition. (Affine Set) A subset \(M\) of \(\mathbb{R}^{n}\) is called an affine set if \( (1-\lambda)x+\lambda y\in M \) for all \(x, y\in M\) and for all \( \lambda\in\mathbb{R}\). Example 1.…