Calculus

일변수 실함수의 연쇄법칙을 증명해보자. 보통 고등학교 교과서, 혹은 기초미적분학 교재에는 다음과 같은 (가짜) 증명을 슬쩍 소개하고 있다. \( (f(g(x)))'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \)\( =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \)\( =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta g}{\Delta x} = f'(g(x))g'(x) \) 그러나 여기서 $\Delta x\to 0$일 때, $\Delta g$가 $0$일…

사잇값 정리. 함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 있는 임의의 $y_0$에 대하여, $y_0=f(c)$를 만족시키는 $c$가 구간 $(a, b)$에 존재한다. 증명 편의상 \( f(a)< y_0 < f(b) \)로 두고 집합 $ A=\{ x\in [a, b]\mid f(x) < y_0\} $를 생각하자. $a\in A$이고 $A\subset [a, b]$이므로 $A$는 공집합이 아니고 유계인 집합이다. 실수의 완비성 공리에 의해 $A$의 최소상계 $x_0\in\mathbb{R}$이 존재한다.…

Theorem (Bernoulli's Inequality) Let \(\alpha\) be a positive real number and \(\delta\geq -1\). If \(0< \alpha\leq 1\), the \( (1+\delta)^\alpha \leq 1+\alpha\delta, \) and if \(\alpha\geq 1\), then \( (1+\delta)^\alpha\geq 1+\alpha\delta. \) Proof. Assume \(0< \alpha\leq 1\). Let \(f(x)=x^\alpha\). By the mean value theorem, \( f(1+\delta)=f(1)+\alpha\delta c^{\alpha-1} \) for some \(c\) between \(1\) and \(1+\delta\). If \(\delta>0\), then \(c>1\). Since…

이 포스트에는 다변수 미적분의 내용 중 고전역학과 관련있는 몇 가지 기초 연습문제 풀이를 써두었다. 4번째 문제가 바로 2018학년도 수능시험에서 화제가 되었던 뉴턴의 구각정리에 대한 수학적인 계산이다. 문제 1. 다음 강체의 관성모멘트를 계산하여라. 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도 \(\rho\)의 원판 (단, 회전축은 원판의 중심을 지나고 원판에 수직인 직선) 힌트: \(\mathrm{d}m=\rho 2\pi r\mathrm{d}r\). 답은 \(\frac{1}{2}ma^{2}\). 반지름이 \(a\)이고 질량이 \(m\)인 균일한 밀도…

마침 잉여력이 좀 있어서 풀어 본 중등임용시험 2점짜리 기출문제이다. 첫 문제 정도로 나오는 매운 쉬운 문제인 듯 하다. 일단 문제를 보자마자, \(\sin\sqrt{x}\) 때문에, 간단히 식이 정리되어야만 함을 직감할 수 있다. 그리고 물론 식이 아주 간단하게 정리된다. 문제. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \( D=\left\{ (x, y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 9\right\} \) 일 때, 함수 \(f : D\to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \( f(x,…

고등학교에서 배우는 이항정리란 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \( (a+b)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k \label{eq:1}\)가 성립한다는 정리이다. 여기서 기호 \(\binom{n}{k}\)는 \(\binom{n}{k}={}_n\mathrm{C}_r=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\)를 나타내며, 이 글에서는 편의상 이 기호를 고등학교에서 많이 쓰는 기호인 \({}_n\mathrm{C}_r\)를 대신하여 사용하기로 한다. 식 (1)의 좌변에 \(a=1, b=x\)를 대입하면 다음 등식을 얻는다. \( (1+x)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k \) 이 식은 이항정리의 특별한 경우로 각 변이 다항함수의 형태이다. 이 등식을 일반화한 정리가…