Introduction to Algebraic Topology #5
Scribed by Yeohyeon Lee
이번 주 수업에는 문제 풀이시간이 좀 있어서, 진도는 조금만 나갔다.
- $G$가 군이고 $A$가 가환군일 때, 실제로 $\operatorname{Hom}(G, A)$가 군을 이룬다는 것을 보여보자. 그러면 $\operatorname{Hom}(G, A)$는 $\{f : G\to A\mid \mbox{$f$는 함수}\}$의 부분군이라는 것도 보인게 된다. 임의의 $f_1, f_2\in\operatorname{Hom}(G, A)$에 대하여 \begin{align*} \forall g, h\in G,\ (f_1+f_2)(gh) & =f_1(gh)+f_2(gh) \\ & = (f_1(g)+f_1(h))+(f_2(g)+f_2(h)) \\ & = (f_1(g)+f_2(g) )+ (f_1(h)+f_2(h)) \\ & =(f_1+f_2)(g)+(f_1+f_2)(h) \end{align*} 이므로 \(f_1+f_2\in\operatorname{Hom}(G, A)\)이다.
Free Abelian Group
Remark. 군 $G$가 가환군일 때, 연산을 $+$로 많이 표기하는데, 이때 자연수 $n$과 $g\in G$에 대하여 \[ ng:=\underbrace{g+\cdots+g}_{\text{$n$개}}, \quad (-n)g=\underbrace{(-g)+\cdots+(-g)}_{\text{$n$개}},\quad 0g=0 \] 으로 표기한다.
- 군 $G$가 abelian일 때, $G$가 특별히 free abelian group이라는 것은 $G$의 원소들의 모임 $\mathscr{B}=\{ e_\alpha\in G\mid \alpha\in\mathscr{A}\}$가 존재해서 $G$의 모든 원소가 합 \[ \sum_\alpha n_\alpha e_\alpha,\ \mbox{(단, $n_\alpha\in \mathbb{Z}$이고, 유한개의 $n_\alpha$를 제외한 모든 $n_\alpha$는 $0$)} \] 의 꼴로 유일하게 표현된다는 뜻이다. 이때 $\mathscr{B}$를 군 $G$의 basis라고 부른다.
- 가환군 $G$와 $G$의 부분집합 $\mathscr{B}$에 대하여 $\mathscr{B}$가 $G$의 basis라는 것은 $\mathscr{B}$가 일차독립이며 $\langle \mathscr{B}\rangle=G$라는 뜻이다. 여기서 집합 $\mathscr{B}=\{e_\alpha\}_{\alpha\in\mathscr{A}}$가 일차독립이라는 것은 (벡터공간의 논의에서와 동일하게) \[ \sum_{\text{finite}} n_\alpha e_\alpha=0\quad \Rightarrow\quad \mbox{$n_\alpha=0$ for all $\alpha\in\mathscr{A}$} \] 라는 뜻이다. 이제 \(\mathscr{B}\)가 기저라는 것이 \(\mathscr{B}\)가 일차독립이면서 \(G\)를 생성한다는 것과 동치임을 보이자. \(\mathscr{B}=\{e_{\alpha}\}_{\alpha}\)가 기저일 때, \(\langle \mathscr{B}\rangle =G\)인 것은 당연하니 \(\mathscr{B}\)가 일차독립인 것을 확인 확인해보자. 유한개의 \(n_{\alpha}\)만 \(0\)이 아닌 합 \(\sum_{\alpha}n_{\alpha}e_{\alpha}=0\)가 있다고 하면, \(\sum_{\alpha}0e_{\alpha}=0\)과 기저가 갖고 있는 합의 표현의 유일성에 의해 모든 \(\alpha\)에 대하여 \(n_{\alpha}=0\)임을 얻는다. 즉 \(\mathscr{B}\)는 일차독립이다. 역으로 일차독립이며 \(G\)를 생성하는 집합 \(\mathscr{B}=\{e_{\alpha}\}_{\alpha}\)가 있을 때, \(\mathscr{B}\)가 \(G\)의 기저인 것을 보이자. \(\mathscr{B}\)의 원소들의 유한합으로 \(G\)의 모든 원소를 표현할 수 있는 것은 자명하니, 그 합의 표현이 유일하다는 것만 확인하면 된다. 이건 표기만 조금 귀찮을 뿐이지 거의 자명하다. 만일 유한개의 정수들 \(n_{\alpha_{1}}, \ldots, n_{\alpha_{k}}, n_{\beta_{1}}, \ldots, n_{\beta_{l}} \)(단, \(\alpha_{i}\)와 \(\beta_{j}\)가 다를 필요 없음.)에 대하여 \[ \sum_{i=1}^{k}n_{\alpha_{i}}e_{\alpha_{i}} = \sum_{i=1}^{l}n_{\beta_{i}}e_{\beta_{i}} \] 라면, 이를 정리하여 \[ \sum_{i=1}^{m}n_{\alpha_{i}}e_{\alpha_{i}} - \sum_{i=1}^{l}n_{\beta_{i}}e_{\beta_{i}} =0 \] 으로 나타낼 수 있다. \(\mathscr{B}\)의 원소들의 (정수계수) 선형결합으로 \(0\)을 표현했을 때 일차독립성에 의해 모든 계수가 \(0\)이어야만 한다는 사실을 생각해보면, 이 식의 좌변에 있는 첨자를 다시 적절히 붙여 모든 \(n_{\alpha_{j}}\)와 모든 \(n_{\beta_{j}}\)들이 \(0\)이어야만 한다는 것을 알 수 있다.
- \(\mathscr{B}\)가 군 \(G\)의 basis일 때, \(\vert \mathscr{B}\vert\)를 \(G\)의 rank라 부르고 기호로 \(\operatorname{rank}(G)\)라 나타낸다. 즉 \[ \vert \mathscr{B}\vert=\operatorname{rank}(G). \]
Remark. Free abelian group \(G\)가 있을 때, \(G\)의 임의의 basis \(\mathscr{B}\)의 cardinality가 basis의 선택에 무관하게 일정하다는 것은 잘 알려진 사실이다. 증명은 교재에 비교적 자세히 소개되어 있으니 참고하도록 하자. 다만 유한생성가환군의 기본정리에 따르면 모든 유한생성가환군인 free abelian group은 오직 \[ \mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \] 꼴 뿐임을 알 수 있는데 이러한 군의 basis의 원소의 개수는 매우 자명하게 늘 일정함을 알 수 있다.
- 역시 free abelian group의 가장 간단한 예는 \[ \underbrace{\mathbb{Z}\oplus\cdots \oplus\mathbb{Z} }_{\text{\(n\)개}} \] 이고 이 군의 rank는 \(n\)이다.
- 더욱 일반적으로 가환군 \(G\)의 rank를 정의할 수 있다. \(G\)가 abelian group일 때, \(\operatorname{rank}(G)\)를 \[ \operatorname{rank}(G):=\mbox{``the cardinality of maximal linearly independent subset of \(G\)''} \] 로 정의한다. 이는 \(G\)가 free abelian group일 때의 rank의 정의와 잘 일치하는 정의이다. 일반적인 가환군의 rank가 잘 정의된다는 것도 교재에 잘 소개되어 있으니 참고하도록 하고 여기서는 \(\mathscr{B}\)가 free abelian group \(G\)의 basis일 때, \(\mathscr{B}\)가 \(G\)의 maximal linearly independent subset임을 간단히 확인해보자. $g\in G$가 \(\mathscr{B}\)에 속하지 않는다고 할 때, \(g=\sum n_{\alpha}e_{\alpha}\)이면 \(0=\sum n_{\alpha}e_{\alpha} - 1g\)이므로 \(\mathscr{B}\cup \{g\}\)는 linearly dependent임을 알 수 있다.
- \(\operatorname{rank}(\underbrace{\mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}}_{\text{\(m\)개}}\oplus\mathbb{Z}_{n_{1}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_{k}})=m\).
- 임의의 두 유리수는 일차종속이므로 \(\operatorname{rank}(\mathbb{Q})=1\)이다. 또한 \(\operatorname{rank}(\mathbb{R})=\infty\)인 것도 알 수 있다.
- 공집합이 아닌 집합 \(X\)에 대하여 \(X\)의 원소들을 형식적인 정수계수 일차결합으로 표현한 것들을 생각할 수 있다. 이들의 모임을 \(F(X)\)로 나타내자. 즉 \[ F(X):=\left\{\left. \sum n_{x}x\ \right\vert\ x\in X, n_{x}\in\mathbb{Z}, \mbox{단, \(n_{x}\)는 유한개를 제외하곤 모두 \(0\).}\right\} \] 라 하자. 그리고 \(F(X)\) 위의 덧셈을 \[ \sum n_{x}x+\sum m_{x}x:=\sum (n_{x}+m_{x})x \] 로 정의하자. 그러면 \(F(X)\)가 하나의 abelian group이라는 것이 매우 자명하다. 더욱이 \(F(X)\)는 free abelian group이다. 사실 \(F(X)\)는 \[ F(X)=\{ f: X\to \mathbb{Z}\in \mathbb{Z}^{X}\mid \mbox{\(f(x)\neq 0\) on a finite subset of \(X\)}\} \] 로 쓸 수 있다. 이때 \(F(X)\)의 basis는 \[ \left\{\left. \mbox{ $\chi$}_{x}: X\to\mathbb{Z}\ \right\vert\ \mbox{ $\chi$}_{x}\mbox{는 \(\{x\}\) 위에서의 특성함수}\right\} \] 이다. 예를 들어 \(3x_{1}+4x_{2}+5x_{3}\in X\)를 \[ 3x_{1}+4x_2+5x_{3}=3\mbox{ $\chi$}_{x_{1}}+4\mbox{ $\chi$}_{x_{2}}+5\mbox{ $\chi$}_{x_{3}} \] 로 둘 수 있다. 또한 \(\vert X\vert=n\)이라면 \(F(X)\cong \underbrace{\mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}}_{\text{$n$개}}\)임을 알 수 있다.
- 지금까지의 여러 이야기가 사실 새로운 표현법을 익힌것에 불과한 것으로 생각할 수도 있다. 그러나 이같은 도구들이 앞으로의 여러 풍성한 이야기들을 논할 때 많은 힘을 발휘할 수 있을 것으로 기대해보자.
- \(A\)가 가환군이면 집합 \(\operatorname{Hom}(A, \mathbb{R})\)은 물론 하나의 가환군인데, 더 나아가 이 집합을 하나의 실벡터 공간으로 이해할 수 있다. 이를 위해서는 스칼라 곱이 무엇인가만 확인하면 되는데 물론 자연스럽게 \(f\in \operatorname{Hom}(A, \mathbb{R})\)이고 \(r\in\mathbb{R}\)일 때, \(rf\)는 \((rf)(a)=r(f(a))\)인 함수로 정의한다. (실제로 이 공간이 실벡터공간이 된다는 것은 어렵지 않게 확인 가능하다.) 만일 \(A\)가 유한생성가환군으로서 \[ A\cong\underbrace{\mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}}_{\text{$n$개}}\oplus\mathbb{Z}_{n_{1}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_{k}} \] 라면 \(\operatorname{Hom}(A, \mathbb{R})\)의 차원은 \(\operatorname{rank}(A)=m\)이 된다. 즉 실벡터공간 \(\operatorname{Hom}(A, \mathbb{R})\)은 \(\mathbb{R}^{m}\)과 동형이다. (이는 꼭 확인해보자.)