대수적 위상수학 입문 #3

Introduction to Algebraic Topology #3

Scribed by Yeohyeon Lee

이번 주도 그냥 꾸준히 기초 배경지식을 상기해본다.

2.4 Lebesque Lemma

여기서는 약방의 감초(?)처럼 쓰이는 보조정리 두 개를 살펴본다.

Proof. (Contrapositive) 결론을 부정하면, 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $$\mathrm{diam}(A_n)<\frac{1}{n},A_n\not\subset U_{\alpha },\mathrm{\forall }\alpha \in \mathcal{A}$$ 를 만족시키는 $K$의 부분집합 $A_n$이 존재한다. 그러면 각 $n$에 대하여 $p_n\in A_n$을 잡을 수 있다. $K$는 sequentially compact이므로 $K$의 점 $p$로 수렴하는 $\{p_n\}$의 부분열 $\{p_{n_k}\}$가 존재한다. 이때 $p\in U_{\alpha }$인 $U_{\alpha }$가 존재하며 $B_{\epsilon }(p)\subset U_{\alpha }$를 만족시키는 양수 $\epsilon$가 존재한다. $p_{n_k}\to p$이므로 적당한 양의 정수 $N$에 대하여 $$n_k>N\Rightarrow p_{n_k}\in B_{\epsilon /2}(p)$$ 이 정립한다. 그런데 $n_{k_0}>N$와 $1/n_{k_0}<\epsilon /2$를 모두 만족시키는 충분히 큰 $n_{k_0}$를 잡으면, 모든 $x\in A_{n_{k_0}}$에 대하여 $$d(p,x)\le d(p,p_{n_{k_0}})+d(p_{n_{k_0}},x)\le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$ 이므로 $x\in B_{\epsilon }(p)$가 성립한다. 즉 $A_{n_{k_0}}\subset B_{\epsilon }(p)$이다. 그런데 이는 $A_{n_{k_0}}\subset U_{\alpha }$를 뜻하므로 모순이다.

Proof. 각 $j\in \mathbb{N}$에 대하여, $$K_k:=\{z\in U|\Vert z\Vert \le j,d(z,U^C)\ge \frac{1}{j}\}$$ 로 잡으면 된다카더라.

3. Analysis

이번 장에서도 본격적인 대수위상을 공부하지는 않고, 사전지식 점검차원으로 해석학의 기본지식 몇 가지를 살펴본다. 나에겐 준비운동이 더 필요하다.

3.1 Results from Plane Calculus

• 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$가 $C^k$-function이라는 것은 $f$가 $i\le k$인 모든 $i$에 대하여 임의의 $i$번 편미분이 가능하고, 그때 얻어진 각 편도함수가 연속이라는 뜻이다.
• 함수 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$가 $C^{\mathrm{\infty }}$-function이라는 것은 $f$가 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대하여 임의의 $i$번 편미분이 가능하고, 그때 얻어진 각 편도함수가 연속이라는 뜻이다.

Remark. 물론 이 등식의 우변은 $\mathcal{D}$의 경계를 따른 양의 방향 곡선 위에서의 선적분이다. 지금은 직사각형 위에서의 적분이므로 그냥 $$\begin{array}{rl}{\int }_{\partial \mathcal{D}}p\mathrm{d}x+q\mathrm{d}y:={\int }_a^{b}p(x,c)\mathrm{d}x+& {\int }_c^{d}q(b,y)\mathrm{d}y\\ & -{\int }_a^{b}p(x,d)\mathrm{d}x-{\int }_c^{d}q(a,y)\mathrm{d}y\end{array}$$ 가 우변의 정의라고 생각해도 된다.

Proof. Fubini's Theorem을 이용하면 아주 쉽게 증명된다. 즉 등식 $${\iint }_{\mathcal{D}}\frac{\partial q}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_c^d\left({\int }_a^b\frac{\partial q}{\partial x}\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y={\int }_c^{d}q(b,y)-q(a,y)\mathrm{d}y$$ 를 이용하면 된다. 나머지 항들에 동일하게 Fubini정리를 적용하면 기계적으로 등식이 증명된다. 일반적인 영역에서의 그린 정리도 증명해보자.

Remark. 역시 그린의 정리는 $${\iint }_{\mathcal{D}}\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial \mathcal{D}}\omega$$ 로 쓰는게 더 흐뭇하다. 여기서 $\omega$는 그린의 정리니까 $\omega =p\mathrm{d}x+q\mathrm{d}y$이다.

Proof.

1. $(a,b)=(0,0)$인 경우. $$\begin{array}{rl}f(x,y)& ={\int }_0^1\frac{\partial }{\partial t}(f(tx,ty))\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{1}x\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)+y\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)\mathrm{d}t\\ & =x{\int }_0^1\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)\mathrm{d}t+y{\int }_0^1\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)\mathrm{d}t\end{array}$$ 이므로 원하는 결과를 얻는다. (이때 $\mathcal{D}$가 convex라는 조건을 이용해 $f(tx,ty)$가 잘 정의됨을 얻었다. 사실 $\mathcal{D}$가 그냥 열린집합이라고 가정해도 문제 없을 듯 하다.)
2. 일반적인 경우는 $\bar{f}(x,y):=f(x+a,y+b)$로 정의하면 $\bar{f}$는 (i)의 경우에 해당하는 함수가 되어 마찬가지 결론을 얻는다.

3.2 Partition of Unity

• 학부수준의 수학에서는 자주 볼 일이 없었지만, 고급 수학에서 꽤 유용하게 쓸 수 있다는 `단위 분할(partition of unity)'라는 정리를 살펴보자. 이를 위해 몇 가지 용어를 먼저 정의하자.
• 함수 $f:S\to \mathbb{R}$에 대하여 $f$의 받침집합(support set)을 기호로 $\mathrm{supp}(f)$로 나타내고 $$\mathrm{supp}(f):=\{x\in S\mid f(x)\ne 0\}$$ 으로 정의한다.\footnote{책에 따라서는 $\mathrm{supp}(f)=\overline{\{x\in S\mid f(x)\ne 0\}}$으로 정의하기도 하는 듯. }
• 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분집합들의 모임 $\{S_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}$이 locally finite이라는 것은 $X$의 임의의 점 $p$에 대하여 $$U_p\cap S_{\alpha }\ne \varnothing \text{for finitely many }\alpha \in \mathcal{A}$$ 를 만족시키는 $p$의 열린 근방 $U_p$가 존재한다는 뜻이다. 즉 locally finite인 집합족 $\{S_{\alpha }\}$는 국소적으로 $\{S_{\alpha }\}$ 유한개의 원소들만 보인다고 표현할 수도 있겠다.

• 위 정리의 $\{h_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$를 partition of unity subordinate to $\{U_{\alpha }\}$라 부른다.
• 위 정리의 증명에 앞서서 이 정리를 응용한 예를 하나 살펴보자. Urysohn Lemma의 내용은 $X$가 normal space이고 $A,B$가 서로 만나지 않는 $X$의 닫힌 부분집합들일 때, $\phi {|}_A\equiv 1$와 $\phi {|}_B\equiv 0$을 만족시키는 연속함수 $\phi :X\to [0,1]$가 존재한다는 것이다. 그런데 partition of unity의 존재를 이용하면, 연속함수가 아니라 $C^{\mathrm{\infty }}$-function을 얻을 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

Proof. $U_1=B^C,U_2=A^C$로 두면 ${\mathbb{R}}^n=U_1\cup U_2$이다. 이때 $\{U_1,U_2\}$의 partition of unity $\{h_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$이 존재한다. 이때 각 $i\in \mathbb{N}$에 대하여 $$\mathrm{supp}(h_i)\subset U_1\text{혹은}\mathrm{supp}(h_i)\subset U_2$$ 중 하나만 성립한다. 이제 함수 $\phi :{\mathbb{R}}^n\to [0,1]$을 $$\phi =\sum _{\mathrm{supp}(h_i)\subset U_1}{h}_i$$ 로 정의하자. 그러면 $h_i$들의 support set들의 모임이 갖고 있는 locally finite 성질 때문에 ${\mathbb{R}}^n$의 각 점에 대한 $\phi$의 값은 유한개의 $h_i$들의 함숫값의 합으로써 잘 정의됨을 알 수 있고 특히 $\phi$는 $C^{\mathrm{\infty }}$-function이다.\par 그런데 $\phi$는 $\mathrm{supp}(h_i)\subset U_1$를 만족시키는 $h_i$들의 합으로 정의되었는데 $U_1=B^C$이므로 $\phi {|}_B\equiv 0$이다. 한편 $\{h_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$가 partition of unity이므로 $$\sum _{i\in \mathbb{N}}{h}_i\equiv \sum _{\mathrm{supp}(h_i)\subset U_1}{h}_i+\sum _{\mathrm{supp}(h_i)\subset U_2}{h}_i\equiv 1$$ 이 성립하는데 $\mathrm{supp}(h_i)\subset U_2$인 모든 $h_i$에 대하여 $h_i{|}_A\equiv 0$이므로 $$\sum _{\mathrm{supp}(h_i)\subset U_1}{h}_i\equiv 1$$ 즉 $\phi {|}_A\equiv 1$가 성립한다.

• 이제 partition of unity의 존재를 증명하기 위해 cut-off function이라 부르는 것이 존재함을 보이고, 이를 이용해 partition of unity가 존재함을 보인다.

Proof.

1. Define $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\frac{1}{x}},& \text{if }x>0\\ 0,& \text{if }x\le 0.\end{array}$$
2. Define $g(x)=f(x)\cdot f(1-x)$.
3. Define $h(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^{n}g\left(\frac{x_i-a_i}{b_i-a_i}\right)$.

• 위의 보조정리에서 (ii)와 (iii)의 $g$나 $h$를 cut-off function이라 부른다.

이제 (드디어!) Partition of unity가 존재함을 보이자.

Proof.[of existence of a partition of unity] 보조정리 $\text{???}$\을 이용하여 $U=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_i$인 $U$의 compact exhaustion $\{K_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$를 택할 수 있다. 이때 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대하여 $K_i$는 compact이고 $K_i\subset {\mathrm{K}}_{\mathrm{i}+1}$이다.\par 또한 %${\mathbb{R}}^n$의 두 조건 %열린상자들의 모임은 보통위상공간의 한 basis이므로

[-]
• $U=\bigcup _a{R}_a$
• 모든 $R_a$에 대하여 $\overline{R_a}\subset U_{\alpha }$, for some $U_{\alpha }$.

를 만족시키는 ${\mathbb{R}}^n$의 열린상자들의 모임 $\{R_a\}$도 잡을 수 있다. (이의 증명은 ${\mathbb{R}}^n$이 거리공간이기 때문에 어렵지 않지만, 여기서는 생략하자.) 물론 $\{R_a\}$는 $U$의 한 open cover이고 특히 모든 $K_i$의 open cover이다. 이때 $K_2$를 덮는 $\{R_a\}$의 finite subcover $\{R_{2_1},\dots ,R_{2_n}\}$가 존재하며, 보조정리 $\text{???}$에 의해 이들 각 $R_{2_k}$들 위에서의 cut-off function $h_{2_k}$가 존재한다.\par 이제 $j\ge 3$인 자연수 $j$에 대하여 $K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})$은 compact이며 $\mathrm{int}(K_{j+1})\setminus K_{j-2}$는 열린집합임을 상기하자. 또한 compact exhaustion의 성질덕분에 $$K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})\subset \mathrm{int}(K_{j+1})\setminus K_{j-2}$$ 가 성립하는 것도 알고 있다. $$\text{Unknown environment 'figure'}$$ 여기서 또

[-]
• $\mathrm{int}(K_{j+1})\setminus K_{j-2}=\bigcup _a{R}_a$
• 모든 $R_a$에 대하여 $\overline{R_a}\subset U_{\alpha }$, for some $U_{\alpha }$

를 만족시키는 열린상자들의 모임 $\{R_a\}$를 다시 잡을 수 있다. 그러면 compact set인 $K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})$를 덮는 finite subcover $\{R_{j_1},\dots ,R_{j_m}\}$을 잡을 수 있고 이들 각 상자 위에서 정의된 cut-off function $h_{j_k}$들이 존재한다. 이와 같이 모든 $3$이상의 모든 $j\in \mathbb{N}$에 대하여 $K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})$를 덮는 유한개의 상자들이 있고 그들 각각의 상자 위에서 정의된 cut-off function들이 있다. 또한 $K_2$를 덮는 유한개의 상자들 위에 정의된 cut-off function들도 있다. 이러한 cut-off function들을 모두 모아 만든 집합은 가산집합이므로 이를 $\{g_i:U\to [0,1]{\}}_{i\in \mathbb{N}}$으로 둘 수 있다. 물론 모든 $g_i$는 $C^{\mathrm{\infty }}$-function이다. 또한 모든 열린상자 $R_a$는 그의 폐포가 적당한 $U_{\alpha }$의 부분집합이되므로, 임의의 cut-off function $g_i$에 대하여 $$\overline{\mathrm{supp}(g_i)}\subset U_{\alpha }$$ 를 만족시키는 $U_{\alpha }$가 존재한다. 또한 모든 $K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})$가 유한개의 상자들로 덮히며, $K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})$와 만나는 $\mathrm{int}(K_i)\setminus K_{i-2}$는 많아야 2, 3개이므로 $K_j\setminus \mathrm{int}(K_{j-1})$의 모든 점은 유한개의 상자하고만 만나는 적당한 근방이 존재한다. 따라서 집합 $\{\mathrm{supp}(g_i){\}}_{i\in \mathbb{N}}$은 locally finite이다.\par 따라서 임의의 $x\in U$에 대하여 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_i$의 값이 잘 정의되며 특히 그 함숫값은 항상 양수이다. 왜냐하면 $U$의 임의의 점은 $K_2$ 혹은 $K_j-\mathrm{int}(K_{j-1})$에 속하므로 적어도 하나 이상의 열린 상자에 속하고 이는 그 열린 상자 위에서의 cut-off function의 값에 의해 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_i$의 값이 양수가 된다. 이제 $h_i:U\to [0,1]$을 $$h_i:=\frac{g_i}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_j}$$ 로 정의하면 $\{h_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$가 바로 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in \mathcal{A}}$의 한 partition of unity이다.