대수적 위상수학 입문 #1

Introduction to Algebraic Topology #1

Scribed by Yeohyeon Lee

1. Introduction

1.1 중등수학과의 연계

위상수학과 중등수학의 연계로는 어떤 것들을 생각해볼 수 있을까?

함수의 연속: 중등수학의 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$라는 것은, 함수 $f : X\to Y$와 $a\in X$가 있을 때, 임의의 $f(a)$의 열린근방 $U(\subset Y)$에 대하여 $f^{-1}(U)$가 $a$의 근방이라는 뜻이다.
사잇값 정리: 연속함수 $f : [-1, 1]\to [-1, 1]$, where $f(\pm)=\pm 1$이 있을 때, \[ \exists x\in [-1, 1]\quad \mbox{s.t.}\quad f(x)=0 \] 이 성립한다. 이를 조금 일반화하여, 연속함수 $f : D^n \to D^n$, where $f\big\vert_{\partial D}=I$가 있을 때 \[ \exists p\in D^n\quad\mbox{s.t.}\quad f(p)=\pmb{0} \] 가 성립할 것인가라는 질문을 해볼 수 있다. 이번 강좌에는 이런 질문에 대한 답을 하는 방법에 대한 공부도 포함되어 있다. (순간 사영함수를 합성해서 증명할 수 있지 않을까라고 생각했지만, 곧 내가 생각한 방법으로는 안된다는 것을 바로 깨달았다. 또다른 생각이 곧 떠올랐는데, 모든 $p\in D^n$에 대하여 $f(p)\neq \pmb{0}$이라 가정한 뒤, 연속함수 $g(x)=f(x)/\Vert f(p)\Vert$를 생각해보는 것이다. 그러면 $\forall p\in D^n, g(p)\in \partial D$가 되겠지. 좀 더 생각해보자. 잘 안될 것 같기도 하고...)
최대, 최소 정리: 함수 $f : [a, b]\to \mathbb{R}$가 연속함수이면, $f([a, b])$는 최댓값과 최솟값이 반드시 갖는다. 이는 연속함수에 의한 compact set의 image는 compact라는 사실과, $\mathbb{R}$의 subset들 중 non-empty compact subset은 언제나 least upper bound와 greatest lower bound를 원소로 갖는다는 것에 기인한다.
오일러 지표: 아름다운 공식 $V-E+F=2$를 때에 따라 중학생에게 소개할 기회가 있다. 이 공식이 성립하는 이유는 일반적으로 \[ V-E+F=\operatorname{rank}(H_0(M)) - \operatorname{rank}(H_1(M)) + \operatorname{rank}(H_2(M)) \] 이 성립하기 때문이다. 여기서 $H_i(M)$은 $M$의 i번째 homology group이다. 또한 군의 rank란, 유한생성가환군의 기본정리를 이용하여 잘 정의할 수 있는 개념인데 바로 \[ \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_k} \] 에서 $\mathbb{Z}$의 개수를 뜻한다. (학부 대수학교재에서 이를 Betti number라고 부르는 것을 본 것 같다.) 예를 들어 $S^2$의 경우 $H_1=\{ 0\}$이고, torus나 머그컵의 표면 같은 경우는 $H_1=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$이다.

Remark. 호몰로지(homology): 대수적, 기하적 구조를 설명하는 근본적인 개념 중 하나.

위상수학이란 공간의 대역적인 모양 또는 위상불변량(성질)에 대한 공부라 할 수 있다. (대역적인 모양이란 ``연결구조(단순이 연결집합 등의 이야기가 아닌 무언가 더 심오한(?) 구조)''라 할 수 있고, 그에 반해 국소적인 모양이란 거의 ``곡률''이라 생각할 수 있다.) 대수적 위상수학이란 공간의 대역적인 모양 또는 위상불변량(성질)에 대한 공부를 군, 벡터공간, module 등 대수적 도구를 이용하여 살펴보는 것이다.

Remark. Homology의 개념은 Poincaré 에 의해 시작되었다. 그는 공간을 이해하기 위해 homology라는 정교한 개념을 개발하고

모든 경계가 없는 compact인 3차원 다양체 $M$에 대하여, \[ H_1=\{ 0\}\ \Leftrightarrow\ M\cong S^3 \]

일 것이라 추측하였다. 그러나 본인이 반례를 직접 찾은 후, 더욱 정교한 개념인 fundamental group이라는 개념을 도입하고, 위의 추측에서 $H_0=\{0\}$를 $\Pi_0=\{ 0\}$로 바꾸어 제시한 것이 바로 그 유명한 Poincaré conjecture이다. (이 추측은 Grigori Perelman에 의해 2003년에 증명되었다.)

2. Point Set Topology

이제 대수적 위상수학 공부를 본격적으로 시작하기에 앞서, 책의 뒷부분에 있는 Appendice를 이용해 필요한 사전지식들을 되짚어보는 시간을 갖는다.

Conventions and Notation

unit interval: $I=[0, 1]$
closed rectangle: $[a, b]\times [c, d]\ (\subset \mathbb{R}^2)$
open rectangle: $(a, b)\times (c, d)\ (\subset \mathbb{R}^2)$
$n$-dimensional disk: $D^n=\{ (x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb{R}^n\mid \sum_{i=1}^n x_i^2\leq 1\}$
$n$-dimensional sphere: $D^n=\{ (x_1, \ldots, x_n)\in \mathbb{R}^n\mid \sum_{i=1}^n x_i^2= 1\}$

2.1 Some Basic Notions in Topology

말 그대로 복습을 하는 것이니, 마치 브레인 스토밍처럼 점집합 위상에서 살펴봤던 간단한 내용들을 나열해본다.

$(X, \mathscr{T})$가 topological space라는 것은 $X$가 집합이고 $\mathscr{T}\subset \wp(X)$가 $X$ 위의 위상이라는 것을 뜻한다.
이때 ``$\mathscr{T}$ is a topology on $X$''의 의미는 $\mathscr{T}$가 세 조건
1. $\varnothing\in\mathscr{T}, X\in\mathscr{T}$
2. If $\{ U_\alpha\}_{\alpha\in I}\subset\mathscr{T}$, then $\bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha\in\mathscr{T}$.
3. If $U_1, \ldots, U_n\in\mathscr{T}$, then $\bigcap_{i=1}^nU_i\in\mathscr{T}$.
를 모두 만족시킨다는 뜻이다. 예를 들어, $X$의 멱집합 $\wp(X)$(혹은 $2^X$로도 표기)도 위의 모든 조건을 만족시키므로 $(X, 2^X)$도 하나의 위상공간이다. 이 위상을 discrete topology라 부른다.
$(X, \mathscr{T})$에서 $\mathscr{T}$의 원소를 $X$의 open set이라 부르고 open set의 여집합을 closed set이라 부른다.
위상공간 $(X, \mathscr{T})$가 있을 때, 점렬 $\{p_n\in X\mid n\in\mathbb{N}\}$을 생각하자. $p_n\to p$, 즉 점렬 $p_n$의 수렴을 논할 수 있는데, 이같은 개념도 점들의 ``연결구조''를 이야기 해주는 것이다. 일반적으로 위상공간에 놓이 점렬 $\{ p_n\}$이 $p$로 수렴한다는 것을 \[ \forall U\in \mathscr{T}, \mbox{with $p\in U$}, \exists N\in\mathbb{N}\quad\mbox{s.t.}\quad [ n\geq N \Rightarrow p_n\in U ] \] 로 정의하고 이를 $p_n\to p$로 나타낸다.
$\mathscr{B}\subset \wp(X)$에 대하여 $\mathscr{B}$가 두 조건
1. $\bigcup_{B\in\mathscr{B}}B=X$
2. $\mathscr{B}$의 두 원소 $B_1, B_2$에 대하여
를 모두 만족시키면 basis for topology on $X$라 부른다. 이때 $\mathscr{B}$를 이용하여 $X$ 위의 위상을 만들 수 있는데 이를 $\mathscr{B}$에 의해 생성된 위상이라 부르고 다음과 같이 정의한다. \[ \mbox{ $U$가 열린집합}\quad\Leftrightarrow\quad [\forall x\in U,\ \exists B\in\mathscr{B}\quad\mbox{s.t.}\quad x\in B\subset U] \] 실제로 위와 같이 정의한 열린집합들 전체의 모임이 위상이 되기 위한 조건들을 잘 만족시킨다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
Basis를 이용하여 위상을 만드는 것을 생각할 수도 있지만, 어떠한 위상공간이 주어졌을 때, 그 위상을 생성하는 basis를 찾고 싶을 수도 있다. $(X, \mathscr{T})$가 위상공간이고 $\mathscr{C}$가 이 공간의 열린집합들의 모임이라고 하자. $\mathscr{C}$가 $\mathscr{T}$를 생성하는 위상일 필요충분조건은 \[ \forall U\in\mathscr{T}, \forall x\in U,\ \exists C\in\mathscr{C}\quad\mbox{s.t.}\quad x\in C\subset U \] 인 것이다. 즉 $X$의 임의의 열린집합을, 열린집합들의 모임 $\mathscr{C}$의 원소들의 union으로 나타낼 수 있으면 $\mathscr{C}$는 $\mathscr{T}$를 생성하는 basis이다.
$\mathscr{S}\subset\mathscr{T}$가 subbasis for topology on $X$라는 것은 $\mathscr{S}$의 원소들의 finite intersection들을 모두 모아 놓은 것이 basis for topology $\mathscr{T}$라는 뜻이다.
$N$이 $p$의 neighborhood라는 것은 $\exists U\in\mathscr{T}\quad\mbox{s.t.}\quad p\in U\subset N$이라는 뜻이다. (앞으로 neighborhood를 간단히 nbd로 줄여쓰자.)
함수 $f : (X, \mathscr{T}_1)\to (X,\mathscr{T}_2)$가 연속이라는 것은 다음과 동치이다.
1. $\forall U\in\mathscr{T_2}, f^{-1}(U)\in\mathscr{T}_1$
2. $f$ is continuous at any points of $X$
3. 임의의 $a\in X$와 $f(a)\in U$인 임의의 $U\in\mathscr{T}_2$에 대하여 $f^{-1}(U)$가 $a$의 근방이다.
한편 $f$가 연속함수이면 $p\in X$로 수렴하는 $X$의 임의의 점렬 $\{p_n\}$에 대하여 $f(p_n)\to p$가 성립한다. 이것은 점렬연속이라는 성질인데, 임의의 연속함수는 점렬연속함수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉 점렬연속함수라고 해서 연속함수인 것은 아니다.
사실 $X$가 제1가산공간이라면 연속성과 점렬연속성은 서로 같은 개념이 된다. 또한 거리공간은 제1가산공간도 되므로 거리공간에서 연속성의 개념과 점렬연속성의 개념은 동일한 개념이 된다.
Hausdorff나 compact등의 기초적인 개념도 상기해보자. 정의를 쓰는 건 지금 좀 귀찮으므로 생략. 다만 우리의 마음속엔 늘 컴팩트 하우스도르프 공간을 사랑하는 마음이 있다는 것만 언급한다. (그리고 컴팩트 하우스도르프 공간을 원하는 것이 과도한 욕심이라 느껴질 때는, 국소 컴팩트 하우스도르프 공간(locally compact Hausdorff space)를 마음에 품자.)
위상공간 $(X, \mathscr{T})$와 $Y\subset X$에 대하여 subspace topology(지금은 일단 기호로 $\mathscr{T}_Y$라 대충 나타냄)는 \[ \mathscr{T}_Y:=\{ Y\cap U\mid U\in \mathscr{T}\} \] 로 정의하는 것이 자연스럽다. 물론 다른 언급이 없다면, 위상공간의 부분집합에서는 늘 subspace topology를 생각한다.
집합 $X$에 거리 $d$가 주어져 있을 때, 점 $p\in X$를 중심으로하는 $\varepsilon$-ball을 $B_\varepsilon(p)$로 나타내고 다음과 같이 정의한다. (물론 $\varepsilon$은 양수.) \[ B_\varepsilon(p)=\{ y\in X\mid d(p, y)<\varepsilon\} \] 이때, $\mathscr{B}=\{ B_\varepsilon(p)\mid p\in X, \varepsilon>0\}$는 한 basis가 되고 이를 이용해 만든 topology가 바로 거리 $d$로 만든 $X$의 거리위상이다. 그리고 $\mathbb{R}^n$의 거리위상이란, 물론 Euclide 거리로 만든 위상이다. (그리고 이는 $\mathbb{R}$의 열린구간들의 모임을 basis로 갖는 $\mathbb{R}$의 위상을 하나 만들고 $\mathbb{R}^n$ 위에 product topology를 준 것과 일치한다.)
$X$가 거리공간이고, $Y$가 $X$의 부분집합이라고 하자. 그러면, 물론, $Y$의 부분공간위상을 생각할 수 있다. 한편 $X$로 부터 물려받은 $Y$의 거리함수를 이용하여 $Y$의 거리위상을 만들수도 있는데, 이 위상은 부분공간위상과 일치한다.
거리공간의 경우 다음과 같은 성질들을 갖는다. 아무래도 `마음의 고향(?)'인 $\mathbb{R}^n$에서 성립하는 성질들이니 한 번 되짚어보자.

Theorem 1.1 $(X, \mathscr{T})$가 $X$의 거리 $d$로 만든 거리위상공간이라고 할 때, 다음이 성립한다.

함수 $f : X\to Y$가 $p\in X$에서 연속일 필요충분조건은 $f$가 $p$에서 점렬연속인 것이다. (이는 $X$가 제1가산공간이기만 해도 성림.)
$C$가 $X$의 닫힌부분집합일 필요충분조건은 $C$의 점들로 만든 임의의 수렴하는 점렬의 극한이 $C$에 있는 것이다. (이것도 $X$가 제1가산공간이기만 해도 성립한다.)
$X$의 부분집합 $K$가 compact일 필요충분조건은 $K$가 sequentially compact인 것이다.
$X$는 Hausdorff 공간이다.

Remark.

위의 정리에서 $K$가 sequentially compact라는 것은 $K$의 점들로 만든 임의의 점렬이 수렴하는 부분점렬을 갖는다는 뜻이다.
$X$의 부분집합 $K$가 limit point compact라는 것은 $K$의 임의의 무한부분집합에 대하여 그 집합의 limit point가 존재하는 것이다. ($K$가 compact이면 $K$는 limit point compact이다. 역은 성립하지 않는다.)
$X$가 거리공간일 때, $K$가 compact라는 것과 sequentially compact라는 것과 limit point compact라는 것은 모두 동치이다.

Theorem 1.2

함수 $f : X\to Y$가 연속이고 $K$가 $X$의 compact subset이면 $f(K)$는 $Y$의 compact subset이다.
$X$가 Hausdorff 공간이고 $K$는 $X$의 compact subset이면 $K$는 $X$의 닫힌부분집합이다.
함수 $f : X\to Y$가 연속인 전단사함수이고, $X$가 compact이며 $Y$가 Hausdorff라면 $f$는 homeomorphism이다.
$K$가 $\mathbb{R}^n$의 compact subset일 필요충분조건은 $K$가 $\mathbb{R}^n$의 유계 닫힌부분집합인 것이다.

Proof. (i) Elementary. (ii) Oviously. (iii) Trivial. (iv) Hiene-Borel Theorem. HAHA! 농담이고 시간날 때, 겸손하게 다 써볼 예정.

위상공간 $X$의 부분집합 $A$에 대하여 $A$의 내부, 경계, 폐포를 각각
1. $\operatorname{int}(A):=\{ p\in A\mid \exists\mbox{nbd $U$ of $p$\quad s.t.\quad $U\subset A$}\} $
2. $\partial A:=\{ p\in X\mid \forall\mbox{nbd $U$ of $p$, [$U\cap A\neq\varnothing$ and $U\cap A^C\neq\varnothing$]}\}$
3. $\overline{A}:=\operatorname{int}(A)\amalg \partial A$ (여기서 $\amalg$는 물론 disjoint union을 나타낸다.)
로 정의한다.
$\overline{A}=A\cup A'=\bigcap_{\substack{A\subset K \\ K^C\in \mathscr{T}} } K$
두 위상공간 $(X_1, \mathscr{T}_1), (X_2, \mathscr{T}_2)$가 있을 때, 집합 $X_1\times X_2 $ 위에 product topology를 basis \[ \{ U\times V\mid U\in\mathscr{T}_1, V\in\mathscr{T}_2\} \] 로 생성한 위상으로 정의한다.
또한 두 위상공간 $(X_1, \mathscr{T}_1), (X_2, \mathscr{T}_2)$가 있을 때, $X_1\cap X_2=\varnothing$이라면, $X_1\amalg X_2 $ 위에 위상을 \[ \mathscr{T}_1\amalg \mathscr{T}_2 :=\{ U\cup V\mid U\in\mathscr{T}_1, V\in\mathscr{T}_2\} \] 와 같이 자연스럽게 정의한다. 물론 $\amalg_\alpha X_\alpha$ 위의 위상도 마찬가지로 정의할 수 있다.

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