August 2021

여기서는 기초 조합론 수준의 이항정리를 간단히 살펴본다. 일반화된 이항정리와 관련된 글은 "일반화된 이항정리의 두 가지 증명"이라는 제목의 포스트(바로가기)를 참조하라. 식 \((a+b)^{n}\)을 전개했을 때, \(a^{i}b^{j}\)의 계수는 무엇일까? 식 \((a+b)^{n}\)을 \( \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{\text{\(n\)개의 \((a+b)\)의 곱}} \) 으로 나타내어, \(n\)개의 인수 중 \(i\)개의 인수에서 \(a\)를 택하고 나머지 \(j\)개의 인수에서 \(b\)를 택하여 곱한 것으로 항 \(a^{i}b^{j}\)가 만들어진다는 것을 알 수 있다. 따라서 \((a+b)^{n}\)를 전개하여 얻는…

Quickies. 아래의 문제들을, 각 질문에 바로 답할 수 있을 때까지, 다른 날짜에 세 번 이상 풀어보는 것을 강력히 권한다. 각 질문을 읽으면서 바로 답할 수 있을 정도가 되어야 한다. \(16\)쌍의 여학생-남학생 커플에서 5명의 여학생을 택하는 경우의 수는? \(7\)개의 글자 AAABBBB를 배열하는 경우의 수는? \(12\)개의 글자 AAABBBBCCCCC를 배열할 때, C끼리는 이웃하지 않도록 배열하는 경우의 수는? \(10\)명의 사람을 일렬로 앉히는 경우의 수는?…

콘 아이스크림 \(12\)가지의 맛을 고를 수 있는 아이스크림 가게에서, 중복을 허용하지 않고 \(5\)개의 싱글 콘 아이스크림을 주문하는 경우의 수는 \(\binom{12}{5}\)임을 알고 있다. 또한 중복을 허용하여 싱글 콘 아이스크림을 주문하는 경우의 수는 \(\binom{12+5-1}{5}\)인 것도 알고 있다. 이제 하나의 콘에 두 가지 맛을 고를 수 있는 더블 콘 아이스크림을 생각해보자. 물론 콘에 아이스크림을 담는 순서를 고려해야 한다는 진정한 아이스크림 미식가와 아이스크림을 담는…

서로 다른 \(n\)개의 물건에서 중복을 허용하여 \(r\)개를 선택하는 경우의 수를 찾아보려 한다. 이를 위해 Mississippi problem을 활용할 것이다. 먼저 다음의 기초적인 문제의 답을 확실히 할 수 있어야 한다. 기둥들을 일렬로 세워 울타리를 만드는데, 인접한 두 기둥은 \(2\)m만큼 떨어져있게 심고, 맨 끝의 기둥 끼리는 \(20\)m만큼 떨어져 있게한다고 할 때, 기둥이 총 몇 개 필요한가? 일렬로 있는 \(10\)개의 물건을 서로 분리하기 위해,…

여기서는 원탁에 자리배치를 하는 경우의 수를 생각해볼 텐데, 적어도 이 책에서의, 원탁의 자리배치의 개수를 셈할 때의 관습은 다음과 같다. 두 자리배치 $s_{1}, s_{2}$에 대하여, $s_{1}$의 각 사람마다 그의 오른쪽에 앉은 사람이, $s_{2}$에서 일치할 때, $s_{1}, s_{2}$는 동일한 자리배치인 것으로 본다. 즉 원탁 배열은 회전하여 일치하는 것 끼리는 같은 것으로 본다는 것이다. 의자들은 고르게 분포되어 있으며 사람들 모두가 원탁 둘레로 배치될…