Introduction to Algebraic Topology #1 Scribed by Yeohyeon Lee 1. Introduction 1.1 중등수학과의 연계 위상수학과 중등수학의 연계로는 어떤 것들을 생각해볼 수 있을까? 함수의 연속: 중등수학의 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$라는 것은, 함수 $f : X\to Y$와 $a\in X$가 있을 때, 임의의 $f(a)$의 열린근방 $U(\subset Y)$에 대하여 $f^{-1}(U)$가 $a$의 근방이라는 뜻이다. 사잇값 정리: 연속함수 $f : [-1, 1]\to [-1, 1]$, where $f(\pm)=\pm 1$이 있을…

교수님이 본격적인 대수적 위상수학 내용을 강의하기에 앞서서, 기초적인 point set topology 이론을 복습해주시고 있다. (교재의 부록을 통해서.) 분명 오늘 3시간 조금 안되게 수업을 들었는데, 왜 3개월 분량의 강의를 들은 것 같지? 교재 내용도 3쪽 남짓 살펴본 것 같은데 왜 30쪽 이상의 내용을 공부한 것 같지? 아주 초고속으로 기초적인 위상수학 개념을 복습하고 있는 듯한데, 절대적인 진도가 빠르기보다는 내가 수학공부를 너무 오랜만에…

선형 계획법의 기초 Scribed by Yeohyeon Lee 1. Preliminaries 1.1 Affine Sets 이 강좌에서 생각하는 벡터공간은 \(\mathbb{R}\) 위의 벡터공간 \(\mathbb{R}^{n}\)이다. 그리고 기본적인 벡터공간의 정의 등은 알고 있는 것으로 가정한다. Definition. (Affine Set) A subset \(M\) of \(\mathbb{R}^{n}\) is called an affine set if \( (1-\lambda)x+\lambda y\in M \) for all \(x, y\in M\) and for all \( \lambda\in\mathbb{R}\). Example 1.…

곡선을 표현하는 방법을 생각해보자. 먼저 기본적으로 생각할 수 있는 것은, 함수 $y=f(x)$가 있을 때, 그 그래프는 하나의 곡선을 나타냄을 알 수 있다. 예를 들어 중학교에서 그림을 그려보았던, $y=x^2$의 경우 그 그래프는 포물선이라는 곡선을 나타낸다. 마찬가지로 생각해보면 $x=g(y)$라는 $y$에 대한 함수도 하나의 곡선을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 즉 $x=y^2$의 경우도 하나의 포물선을 나타내게 된다. 여기서 $y=f(x)$나 $x=g(y)$와 같은 표현에서는 하나의…

육아에 관련된 여러 이야기들을 들어 보았지만, 아주 격하게 공감하고 있는 두 개의 명언(?)이 있다. 1. Joyce님의 페이스북 담벼락에서 본 글귀. 자녀라는 건, 내 생의 가장 황홀한 축복이자 가장 무거운 족쇄와 같은 것. 2. 지난 학교에서 옆자리에서 함께 근무한 선생님의 조언. ‘더 괴롭히지만 말아다오.’ 이런 마음으로 접근해야 하는 거야. 2번은 육아가 넘 힘들다고 징징거리며, ‘아이가 얼마나 더 커야 좀 편해질 수…

허덕이던 일을 정말 거의 다 끝내었다. 278쪽짜리 글을 쓴 내가 자랑스럽다. (감동의 오열 ㅠㅠ.)

할일 목록을 잘 만들어서 활용하면 효율적인 업무를 할 수 있을 것 같다는 헛된 생각으로 몇년 전 2Do라는 어플을 구입하였다. 크게 비싸지는 않은 어플이었는데 활용도가 아주 높다는 후기를 보고 그냥 구입만 해두었었다. 본래 이 어플의 주용도는 업무 리스트를 체계적으로 관리하는 것으로 해야할 일을 입력하고, 해야할 일에 대한 기간이나 알림을 설정할 수 있다. 또한 각 할일에 대한 간단한 코멘트도 달아 놓을 수…

허덕이던 일의 끝이 보이기 시작한다. 지난 12월 말부터 지금까지 레드불 한박스 정도는 몸에 쏟아부은 듯 하다. 재충전을 해야하는 시기에 쓸모없는(그러나 대충해서는 안되는) 일들을 처리하기 위해 이렇게 목숨을 불태우는 듯한 결의로 잠못자며 일하고 있다. 정말 화가난다. 쌩쌩한 몰골로 가족과 함께 시간을 보내고 싶다. 내일 쯤 끝낼 수 있을까? 기적이 일어난다면 내일 쯤 끝낼 수 있을 것이다. 뭐, 늦어도 다음주 화요일에는 끝나겠지...…

Math is hard. So is life. Get over it.

마침 잉여력이 좀 있어서 풀어 본 중등임용시험 2점짜리 기출문제이다. 첫 문제 정도로 나오는 매운 쉬운 문제인 듯 하다. 일단 문제를 보자마자, \(\sin\sqrt{x}\) 때문에, 간단히 식이 정리되어야만 함을 직감할 수 있다. 그리고 물론 식이 아주 간단하게 정리된다. 문제. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \( D=\left\{ (x, y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 9\right\} \) 일 때, 함수 \(f : D\to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \( f(x,…

고등학교에서 배우는 이항정리란 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \( (a+b)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k \label{eq:1}\)가 성립한다는 정리이다. 여기서 기호 \(\binom{n}{k}\)는 \(\binom{n}{k}={}_n\mathrm{C}_r=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\)를 나타내며, 이 글에서는 편의상 이 기호를 고등학교에서 많이 쓰는 기호인 \({}_n\mathrm{C}_r\)를 대신하여 사용하기로 한다. 식 (1)의 좌변에 \(a=1, b=x\)를 대입하면 다음 등식을 얻는다. \( (1+x)^n =\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k \) 이 식은 이항정리의 특별한 경우로 각 변이 다항함수의 형태이다. 이 등식을 일반화한 정리가…