1. 역사적 단상 갈릴레오는 (중심각이 $90^\circ$인) 원호 모양의 철사에 구슬을 꿰었을 때, 마찰없이 구슬이 미끄러지는데 걸리는 시간을 생각하였다. 미적분의 이론을 통해 구슬의 강하시간을 계산하면 \( \sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{1}{2}\alpha\right)\sin^2\beta}}\ \mathrm{d}\beta \) 이고, 이는 약 $1.8541\sqrt{L/g}$이다. 갈릴레오는 원호를 다각선으로 근사시켰을 때의 구슬의 낙하시간은 항상 [원호를 따라 낙하하는 구슬]의 낙하시간보다 크다고 추론하였다. (자세한 내용이 참고도서 [2]의 6.1절에 소개되어있다.) 어떤 사람들은 갈릴레오가 최단강하선이 원호임을 주장했다고 하는데,…

폭풍같은 4, 5월이 지나갔다. 아직 마무리 못 한 중요한 일들이 있지만 6월 10일쯤부터는 좀 여유를 찾을 수 있지 않을까 싶다.

올해 4월은 정말 잔인한 달이구나. ㅠㅠ.

Introduction to Modern Geometry #3 Scribed by Yeohyeon Lee 1.5 등장사상 더 살펴보기 등장사상 \(F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 다음이 성립한다. \(F\)는 곡선의 길이를 보존한다. 즉, 길이를 갖는 곡선 \(\alpha\)에 대하여 \(L(\alpha)=L(F(\alpha))\).\footnote{물론 \(L\)은 곡선의 길이를 재는 함수.} \(F\)는 선분을 선분으로 직선을 직선으로 보낸다. 왜냐하면 서로 다른 임의의 두 점 \(P, Q\in\mathbb{R}^{2}\)에 대하여 \( d(P, Q)=d(F(P), F(Q)) \) 가 성립하는데, 좌변은 \(P, Q\)를 양…

Introduction to Modern Geometry #1~2 Scribed by Yeohyeon Lee Introduction 기하학이란 무엇일까? Felix Klien의 정의까지 가지 않더라도 우리의 마음속엔 기하학이란 `공간'에 대한 공부라는 것이 떠오른다. 이 책에 담겨있는 많은 내용들은 이제 고전기하 혹은 근대기하 정도로 소개할 수 있을 법하다. 유클리드 기하와 비유클리드 기하로 구분하자면, 이 책의 제1, 3, 5장은 유클리드 기하, 제2, 4장은 비유클리드 기하라 할 수 있겠다. 공간에 대한…

이 글은 1999/2006년에 발행된 책인 [곡선과 곡면의 미분기하학(쇼시치 고바야시/청문각)]의 ``맺는말''을 발췌한 것이다. 이 책은 저명한 기하학자 쇼시치 고바야시의 일본어교재를 경희대학교의 김병학교수님이 번역하여 출간한 책이다. 현재는 절판되어 구입이 불가능한 듯 하다. %(내가 갖고 있는 책이 글씨가 희미해져서 다시 구입하고 싶은데, 구입할 길이 없는 듯.) 그 유명한 고바야시의 미분기하교재와는 다른 책으로 매우 친절하게 이야기를 전개하는 학부수준 교재이다. 이 교재의 맺는말에 해당하는 부분이…

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 대수학 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 C. Exercise C.5 If an abelian group $C$ contains subgroup $A$ and $B$ such that every element of $C$ can be written as a sum of an element in $A$ and an element in $B$, and $A\cap B=\{0\}$, show that $A\oplus B$ is…

Introduction to Algebraic Topology #5 Scribed by Yeohyeon Lee 이번 주 수업에는 문제 풀이시간이 좀 있어서, 진도는 조금만 나갔다. $G$가 군이고 $A$가 가환군일 때, 실제로 $\operatorname{Hom}(G, A)$가 군을 이룬다는 것을 보여보자. 그러면 $\operatorname{Hom}(G, A)$는 $\{f : G\to A\mid \mbox{$f$는 함수}\}$의 부분군이라는 것도 보인게 된다. 임의의 $f_1, f_2\in\operatorname{Hom}(G, A)$에 대하여 \forall g, h\in G,\ (f_1+f_2)(gh) =f_1(gh)+f_2(gh) \)\( =…

Introduction to Algebraic Topology #4 Scribed by Yeohyeon Lee 4. Algebra 4.1 Linear Algebra 이 강좌에서는 특별한 언급이 없으면, 늘 실수체 위에서의 벡터공간만을 생각한다. 공집합이 아닌 집합 \(V\)에 대하여 덧셈이라고 부르는 연산 \( +: V\times V\to V \) 와 스칼라곱 \( \cdot : \mathbb{R}\times V\to V \) 가 주어져 있으며 이들 덧셈과 스칼라곱이 \((u+v)+ w= u+(v+w)\), for all \(u, v,…

Introduction to Algebraic Topology #3 Scribed by Yeohyeon Lee 이번 주도 그냥 꾸준히 기초 배경지식을 상기해본다. 2.4 Lebesque Lemma 여기서는 약방의 감초(?)처럼 쓰이는 보조정리 두 개를 살펴본다. Lemma 4.1 [Lebesque Lemma] \(K\)가 compact metric space라 하자. 그리고 \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\)가 \(K\)의 임의의 open cover라 하자. 그러면 \( \exists \varepsilon>0\,\mbox{s.t.}\, \left[ \mbox{$\forall S\subset K$, where $\operatorname{diam}(S)N\)와 \(1/n_{k_{0}}

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 점집합 위상수학의 연습문제 몇 가지를 풀어보자. 문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 A. Proposition $Y_1, Y_2$가 disjoint한 topological spaces이고 $K_1, K_2$가 각각 $Y_1, Y_2$의 closed subset이라 하자. 그리고 $\vartheta : K_1\to K_2$는 homeomorphism이라 하자. 집합 $Y_1\amalg Y_2$ 위에 관계 $\sim$을 $\forall y_i \in Y_i,\ y_i\sim y_i$ $\forall y_1\in K_1,\ y_1\sim\vartheta(y_1)$ 으로 정의하면 $\sim$는 잘…

Introduction to Algebraic Topology #2 Scribed by Yeohyeon Lee 2.2 Connected Componoents 위상공간 \( (X, \mathscr{T})\)의 부분공간 \(A\)가 disconnected라는 것은 \( \exists U, V\in\mathscr{T}\setminus\{\varnothing\}\, \mbox{s.t.}\, [ U\cap V=\varnothing, A\subset (U\cap A)\cup (V\cap A) ] \) 라는 뜻이다. 그리고 \(A\)가 connected라는 것은 \(A\)가 disconnected가 아니라는 뜻이다. 연결집합에 대하여 다음이 성립한다. Theorem 2.1 함수 \(f : X\to Y\)이 연속이고 \(X\)가 connected이면 \(f(X)\)도…