[기록용] 코드 출처: https://tex.stackexchange.com/questions/545189/how-can-i-shade-the-two-regions?atw=1 이번에도 역시 TikZ의 신 슈뢰딩거의 고양이님의 답변이다. 첫 번째 솔루션인 아래 코드에서는 구체적인 점의 좌표를 하나씩 지정하고 각 호를 직접 그리되 fill 옵션을 주어 원하는 영역을 채우는 방법을 사용하였다. 반면에 두 번째 솔루션인 아래 코드는 좀 더 새련된 방법인 것 같다. 그런데, 내가 TikZ를 잘 몰라서 이 코드가 bullet을 직접 찍지 않은 것 그리고 코드가 더…

일변수 실함수의 연쇄법칙을 증명해보자. 보통 고등학교 교과서, 혹은 기초미적분학 교재에는 다음과 같은 (가짜) 증명을 슬쩍 소개하고 있다. \( (f(g(x)))'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \)\( =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \)\( =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta g}{\Delta x} = f'(g(x))g'(x) \) 그러나 여기서 $\Delta x\to 0$일 때, $\Delta g$가 $0$일…

코드 출처: https://tex.stackexchange.com/questions/540649 늘 탁월한면서도 친절한 답변을 해주는 슈뢰딩거의 고양이님의 답변이다. 사영방법에 따른 세 가지 그림을 보여주고 있으며, 이 예제의 컴파일 결과를 보면, 세 번째 그림만이 숫자가 겹치지 않는다.

제3장 문자와 식 3.1 다항식 다항식의 구조 문자 또는 수들의 곱으로 이루어진 식을 항이라 하고, 항 또는 항들의 합으로 이루어진 식을 다항식(polynomial)이라고 한다. 예를 들어 \( \pi,\, x,\, 3z+1,\, -x+2x^{2020}+2, \, -xy^{2}+x^{2}+a^{4}y^{2}+x \) 는 모두 다항식이다. 다항식은 동류항끼리 모아서 정리하여 간단히 나타낸다. 그리고 차수가 높은 항부터 순서대로 나열하는 내림차순 혹은 차수가 낮은 항부터 순서대로 나열하는 오름차순으로 정리하면 보기 좋다. 예를…

제2장 실수와 복소수 실수라는 것은 도대체 무엇일까? 각각의 실수가 무엇인지 밝히는 것이 가능할까? \(0\)이나 \(1\)과 같이 간단하고 중요한 수의 경우도 이들이 과연 무엇인지 그 자체로 밝히는 것은 간단한 일이 아니다. 실수란 무엇인가라는 질문에 어느 정도 만족스러운 답변을 얻는 것은 우리가 지금 공부하는 수학Ⅰ의 범위를 넘어서는 것이다. 이 장에서는 먼저 실수가 갖는 성질 중 중요한 두 가지 성질, 즉 연산에 대한…

연역적 추론 두 조건 \(p, q\)에 대하여, 문장 `\(p\longrightarrow q\)'는 하나의 명제가 된다. 일반적으로 조건 \(p, q\)의 진리집합을 각각 \(P, Q\)라 할 때, \(p\longrightarrow q\)가 참이면 조건 \(p\)를 참이되게 하는 원소는 조건 \(q\)도 참이 되게 하므로 \(P\subset Q\)인 관계가 성립한다. 또한 \(P\subset Q\)인 관계가 있으면 명제 \(p\longrightarrow q\)는 참이다. 한편, 명제 \(p\longrightarrow q\)가 거짓이라는 것은 조건 \(p\)가 참이 되지만 \(q\)는…

제1장 집합과 논리의 기초 ``철학은 우주라는 드넓은 책에 쓰여있다. … 그것은 수학의 언어로 쓰였으며 그것의 문자는 삼각형, 동그라미 그리고 다른 기하학적 수치들이다.'' -갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei; 1564--1642)- 19세기 말 수학자 칸토르(Cantor, G.; 1845--1918)는 무한집합에 관한 이론을 처음으로 발표하였다. 수학의 긴 역사를 생각해볼 때 `집합'이라는 개념을 구체적으로 다룬 것은 비교적 최근의 일이라 할 수 있다. 오늘날에는 모든 수학적 대상을 집합을 이용하여 정의한다고…

[기록용] \(\rm{\LaTeX}\)의 TikZ패키지를 이용하여 얻은 그림을 블로그에 넣는 방법을 생각해보자. 예를 들어 \(\rm{\TeX}\)으로 어떤 문서를 만들었는데, 그 문서에는 다음과 같은 코드로 만든 그림이 종종 등장한다고 하자. 가장 단순한 방법(그러나 조금 귀찮은 방법)은 \(\rm{\TeX}\)의 standalone 클래스로 해당 코드의 이미지를 얻은 후 이를 보통의 그림을 블로그에 삽입하는 방법을 이용하는 것이다. 플러그인을 통한 방법을 사용하는 다음 링크도 참고하자. 이 링크의 방법은 기존 mathjax이나…

사잇값 정리. 함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 있는 임의의 $y_0$에 대하여, $y_0=f(c)$를 만족시키는 $c$가 구간 $(a, b)$에 존재한다. 증명 편의상 \( f(a)< y_0 < f(b) \)로 두고 집합 $ A=\{ x\in [a, b]\mid f(x) < y_0\} $를 생각하자. $a\in A$이고 $A\subset [a, b]$이므로 $A$는 공집합이 아니고 유계인 집합이다. 실수의 완비성 공리에 의해 $A$의 최소상계 $x_0\in\mathbb{R}$이 존재한다.…

1월이니 목표를 세워보고 싶다는 생각이 들었다. 역시 (하기 싫은) 해야할 일이 많을 때는 딴 짓이 무진장 하고 싶어지는 구나. 아무튼 즉흥적으로 생각해본 2019년의 목표는 다음과 같다. 꼭 해야만 하는 일 논문... OTL (지옥에서 돌아온) 미적분 수업 되도록 해야하는 일 이산수학 교재 제작 사전 작업 생성함수론 방과후 교재 제작 복소함수론 답지 제작 도 까르모... 번역 작업 몇 개 착수 올해 하고…

Theorem (Bernoulli's Inequality) Let \(\alpha\) be a positive real number and \(\delta\geq -1\). If \(0< \alpha\leq 1\), the \( (1+\delta)^\alpha \leq 1+\alpha\delta, \) and if \(\alpha\geq 1\), then \( (1+\delta)^\alpha\geq 1+\alpha\delta. \) Proof. Assume \(0< \alpha\leq 1\). Let \(f(x)=x^\alpha\). By the mean value theorem, \( f(1+\delta)=f(1)+\alpha\delta c^{\alpha-1} \) for some \(c\) between \(1\) and \(1+\delta\). If \(\delta>0\), then \(c>1\). Since…

이 블로그를 열면서 일주일에 글 한 편씩 쓰겠다는 다짐을 했었는데, 물론 그렇게 하지 못했다. 그러나 지금이 어느때인가. 바로 새 해를 맞이할 때가 아니던가. 이에 걸맞게 다짐을 해본다. 일주일에 글 한 편씩 올리리라. 당분간은 비공개로 써있는 글들을 하나씩 공개로 전환하면서 버텨보자.