여기서는 기초 조합론 수준의 이항정리를 간단히 살펴본다. 일반화된 이항정리와 관련된 글은 "일반화된 이항정리의 두 가지 증명"이라는 제목의 포스트(바로가기)를 참조하라. 식 \((a+b)^{n}\)을 전개했을 때, \(a^{i}b^{j}\)의 계수는 무엇일까? 식 \((a+b)^{n}\)을 \( \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{\text{\(n\)개의 \((a+b)\)의 곱}} \) 으로 나타내어, \(n\)개의 인수 중 \(i\)개의 인수에서 \(a\)를 택하고 나머지 \(j\)개의 인수에서 \(b\)를 택하여 곱한 것으로 항 \(a^{i}b^{j}\)가 만들어진다는 것을 알 수 있다. 따라서 \((a+b)^{n}\)를 전개하여 얻는…

Quickies. 아래의 문제들을, 각 질문에 바로 답할 수 있을 때까지, 다른 날짜에 세 번 이상 풀어보는 것을 강력히 권한다. 각 질문을 읽으면서 바로 답할 수 있을 정도가 되어야 한다. \(16\)쌍의 여학생-남학생 커플에서 5명의 여학생을 택하는 경우의 수는? \(7\)개의 글자 AAABBBB를 배열하는 경우의 수는? \(12\)개의 글자 AAABBBBCCCCC를 배열할 때, C끼리는 이웃하지 않도록 배열하는 경우의 수는? \(10\)명의 사람을 일렬로 앉히는 경우의 수는?…

콘 아이스크림 \(12\)가지의 맛을 고를 수 있는 아이스크림 가게에서, 중복을 허용하지 않고 \(5\)개의 싱글 콘 아이스크림을 주문하는 경우의 수는 \(\binom{12}{5}\)임을 알고 있다. 또한 중복을 허용하여 싱글 콘 아이스크림을 주문하는 경우의 수는 \(\binom{12+5-1}{5}\)인 것도 알고 있다. 이제 하나의 콘에 두 가지 맛을 고를 수 있는 더블 콘 아이스크림을 생각해보자. 물론 콘에 아이스크림을 담는 순서를 고려해야 한다는 진정한 아이스크림 미식가와 아이스크림을 담는…

서로 다른 \(n\)개의 물건에서 중복을 허용하여 \(r\)개를 선택하는 경우의 수를 찾아보려 한다. 이를 위해 Mississippi problem을 활용할 것이다. 먼저 다음의 기초적인 문제의 답을 확실히 할 수 있어야 한다. 기둥들을 일렬로 세워 울타리를 만드는데, 인접한 두 기둥은 \(2\)m만큼 떨어져있게 심고, 맨 끝의 기둥 끼리는 \(20\)m만큼 떨어져 있게한다고 할 때, 기둥이 총 몇 개 필요한가? 일렬로 있는 \(10\)개의 물건을 서로 분리하기 위해,…

여기서는 원탁에 자리배치를 하는 경우의 수를 생각해볼 텐데, 적어도 이 책에서의, 원탁의 자리배치의 개수를 셈할 때의 관습은 다음과 같다. 두 자리배치 $s_{1}, s_{2}$에 대하여, $s_{1}$의 각 사람마다 그의 오른쪽에 앉은 사람이, $s_{2}$에서 일치할 때, $s_{1}, s_{2}$는 동일한 자리배치인 것으로 본다. 즉 원탁 배열은 회전하여 일치하는 것 끼리는 같은 것으로 본다는 것이다. 의자들은 고르게 분포되어 있으며 사람들 모두가 원탁 둘레로 배치될…

이 글은 현재는 절판된 Serge Lang의 선형대수 교재 제2판([1], VII, §6)의 내용을 토대로 쓴 것이다. 퍼가지 마시라. 이 글에서는 행렬식을 한 도형의 체적으로 이해하는 이야기를 소개한다. 먼저 2-차원의 경우를 논할텐데, '체적(volume)'이라는 용어를 2-차원 도형의 넓이를 일컬을 때에도 그냥 사용하고자 한다. 또한 '\(\operatorname{Vol}\)'와 같은 기호를 이용하여 넓이를 나타내기도 할 것이다. 물론 이 기호를 일반적인 고차원 도형의 체적을 나타내는 기호로도 쓸 것이다.…

앞으로 종종 각 문제가 다음 문제로 이어지는 일련의 문제를 나열할 것이다. 이들을 처음 읽을 때는 마지막 질문에 답할 수 없을지라도, 다른 질문들을 해결해보며 차분히 읽어나가면 마지막 질문에 대한 답도 “분명히” 눈에 보일 수 있을 것이다. 앞으로 \(\mathrm{A_{1}, A_{2}, A_{3}}\)는 각각 하나의 letter로 여긴다. 아마 먼저 세 개의 \(\mathrm{A}\)를 서로 다른 색의 \(\mathrm{A}\)로 여기고 나중에는 구별할 수 없는 \(\mathrm{A}\)로 여기는 것이…

비둘기의 수가 비둘기집의 개수보다 많다면 (그리고 비둘기들이 모두 비둘기집으로 들어간다면) 반드시 어떤 비둘기집에는 두 마리 이상의 비둘기가 들어 있다. 좀 더 구체적으로 \(n+1\)마리 혹은 더 많은 비둘기를 \(n\)개의 비둘기집에 배정하면, 비둘기 중 적어도 두 마리는 같은 비둘기집에 배정된다. 더 일반적으로는, 비둘기의 수가 비둘기 집의 수의 \(k\)배 보다 더 많다면, 반드시 어떤 비둘기집에는 \(k+1\)마리 이상의 비둘기가 들어가 있다. 이러한 원리를 비둘기집의…

More Quickies. 서로 다른 \(5\)개의 라틴책, 서로 다른 \(7\)개의 그리스책이 있을 때, 하나의 라틴책과 하나의 그리스책을 고르는 경우의 수는? 하나의 \(2\)-letter word를 만드는 경우의 수는? 하나의 \(2\)-letter word를 만드는데, letter들이 서로 다른 것으로 만드는 경우의 수는? 하나의 \(2\)-letter word를 만드는데, 한 자음 뒤에 한 모음이 따라 오도록 만드는 경우의 수는? \(3\)명의 남자와 \(8\)명의 여자에서, 한 남자와 한 여자를 택하는 경우의…

이 글에서는 가능한 한 앞으로 중복되는 부연 설명을 피하기 위해 이 블로그에 올리는 조합론 혹은 이산수학 관련 포스트 전반에 걸쳐 적용되는 몇 가지 관습 혹은 관례를 명시한다. 사람은 항상 서로 구별된다. 그리고 편의상 오렌지는 서로 구별되지 않는다. 마찬가지로 사과, A, 빨간공, 그리고 특별한 언급이 없는 한 100원짜리 동전도 그들끼리는 서로 구별되지 않는다. 예를 들어, 복숭아, D, 초록공 등에도 일반적으로 동일한…

그렇다. 셈하는 것은 어렵다. “Counting”이란 전혀 쉬워 보이지 않는 말인 “계수적 조합론(enumerative combinatorics)”의 줄임말이다. 이는 “How many ways are there to . . .”로 시작하는 질문을 다루는 이산수학의 한 과목이라 할 수 있다. 예를 들어, 우리는 곧 “\(8\)가지 맛을 고를 수 있는 아이스크림 콘 \(12\)개를 주문하는 경우의 수는?”과 같은 질문의 답을 알게 될 것이다. 이 과목이 끝날 때는 “\(k\)개의 색을…

'가우스의 정리'라고 말하면 그 종류가 너무 많아서 무엇을 일컫는지 혼동의 여지가 있습니다. 지금 살펴보고자 하는 가우스의 보조정리는 다항식의 인수분해와 관련된 정리입니다. 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다. 정수계수 다항식이 (차수가 더 낮은) 유리계수 다항식 두 개로 인수분해될 필요충분조건이 그 다항식이 (차수가 더 낮은) 정수계수 다항식 두 개로 인수분해되는 것임을 어떻게 증명할 수 있는가? 인수분해를 섬세하게 살펴본 학생은 위의 질문에 언급된…