몇 가지 약속

이 글에서는 가능한 한 앞으로 중복되는 부연 설명을 피하기 위해 이 블로그에 올리는 조합론 혹은 이산수학 관련 포스트 전반에 걸쳐 적용되는 몇 가지 관습 혹은 관례를 명시한다. 사람은 항상 서로 구별된다. 그리고 편의상 오렌지는 서로 구별되지 않는다. 마찬가지로 사과, A, 빨간공, 그리고 특별한 언급이 없는 한 100원짜리 동전도 그들끼리는 서로 구별되지 않는다. 예를 들어, 복숭아, D, 초록공 등에도 일반적으로 동일한 관례를 적용하는 것이 좋다. 특별한 언급이 없는 하나의 선택 내에서의 순서는 고려하지 않는다. 영어 알파벳은 \(26\)개가 있으며 “rhythm” 및 “cwm”과 같은 단어는 무시하고 \(5\)개의 모음(a, e, i, o, u)과 \(21\)개의 자음이 있다고 과감히 선언한다. 단어 “word”는 정보과학에서 처럼 많이 사용된다. 여기서 word는 단지 기호들의 나열일 뿐이며, 여기서 기호는 특별한 언급이 없는 한 알파벳의 글자를 사용한다. 물론 영어 사전에서 그러한 word를 찾을 수 있을 것이라 기대하지는 않는다. 미국 동전을 활용한 문제에서 동전의 액면표시는 다음과 같다: penny (1¢), nickel (5¢), dime (10¢), quarter (25¢), half dollar (50¢), dollar (＄1\(=\)100¢).

음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여, 기호 \(n!\)은 `엔!'이라 소리치는게 아니라, “\(n\) 펙토리얼(factorial)”이라 읽는 것이다. 펙토리얼은 \(0!=1, (n+1)!=(n+1)\times n!\)으로 귀납적으로 정의된다. 따라서, 예를 들어 \(5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1\)이다.

하나의 플레잉 카드 덱은 \(52\)장의 카드로 이루어져 있으며, 이는 \(4\)가지 짝패(스페이드 \(\spadesuit\), 클럽 \(\clubsuit\), 하트\(\heartsuit\), 다이아몬드 \(\diamondsuit\)) 각각 마다 \(13\)장의 카드가 있는 것이다. 스페이드와 클럽은 검은색, 하트와 다이아몬드는 빨간색이다. 각 짝패는 \(2, 3, 4, \ldots, 10\), jack, queen, king, ace의 값 각각을 갖는 카드로 이루어져 있다. 같은 값을 갖는 카드끼리는 같은 종류라고 말한다. 포커를 할 때는 \(5\)장의 카드를 갖는 반면에 브리지를 할 때는 \(13\)장을 갖는다. 주사위는 각 면에 \(1\)부터 \(6\)까지의 숫자가 하나씩 써있는 정육면체이다.

\(28\)일을 갖는 달은 얼마나 있나? 이 구식 퀴즈의 답은, 물론, 모든 달이다. 보통 수학이나 논리학에서 상자안에 \(10\)개의 공이 있다고하면 그 상자에는 적어도 \(10\)개의 공이 있다는 말로 받아들인다. 즉 \(12\)개의 공이 들어있는 상자에는 분명히 \(10\)개의 공이 들어있다. 그러나 조합론이나 확률론에서는, 보통 사람들이 이야기할 때처럼, \(10\)개의 공이 들어있다는 말은 정확히 \(10\)개의 공이 들어 있다는 뜻으로 하는 말이다. \(10\)개의 공을 \(5\)개의 상자에 분배하는 것은 정확히 \(10\)개의 공을 \(5\)개의 상자에 집어 넣는 것을 의미한다. 이는 우리가 비록 이 블로그에서 공을 담는 것에 대해 이야기하는데 많은 시간을 할애할지라도 우리 중 대부분은 상자에 공을 담는데 인생의 많은 시간을 쓰지 않을 것임을 깨닫게 해준다. 상자에 공을 담는 문제를 추상화하게 되어 기분이 좋다. 이는 수학적 응용의 진중함을 감소시키지 않는다.

Ten Quickies.

다음 \(10\)개의 질문에 답하여라.

1. \(6\)명의 남학생과 \(8\)명의 여학생 중 \(1\)명의 학생을 택하는 경우의 수는? ¹
2. $6$개의 오렌지와 $8$개의 사과 중 $1$개를 택하는 경우의 수는?
3. $3$개의 A, $5$개의 B, $7$개의 C 중에서 $1$개의 글자를 택하는 경우의 수는?
4. $3$개의 B, $3$개의 G 중에서 $2$개의 글자를 택하는 경우의 수는?
5. $3$명의 남학생과 $3$명의 여학생 중에서 $2$명의 학생을 택하는 경우의 수는?
6. $6$개의 오렌지 중에서 $5$개의 오렌지를 택하는 경우의 수는?
7. $6$명의 여학생 중에서 $5$명의 여학생을 택하는 경우의 수는?
8. $6$명의 여학생 중에서 $1$명의 여학생을 택하는 경우의 수는?
9. $7$개의 오렌지와 $8$개의 사과 중에서 $5$개를 택하는 경우의 수는?
10. $9$개의 오렌지와 $6$개의 사과 중에서 적어도 $1$개를 택하는 경우의 수는?

1. `방법의 수'와 `경우의 수'는 동일한 뜻으로 여기면 된다.