[수학Ⅰ] 제2장 실수와 복소수

제2장 실수와 복소수

실수라는 것은 도대체 무엇일까? 각각의 실수가 무엇인지 밝히는 것이 가능할까? $0$이나 $1$과 같이 간단하고 중요한 수의 경우도 이들이 과연 무엇인지 그 자체로 밝히는 것은 간단한 일이 아니다. 실수란 무엇인가라는 질문에 어느 정도 만족스러운 답변을 얻는 것은 우리가 지금 공부하는 수학Ⅰ의 범위를 넘어서는 것이다.

이 장에서는 먼저 실수가 갖는 성질 중 중요한 두 가지 성질, 즉 연산에 대한 성질 및 순서에 관한 성질을 간략히 살펴본다. 다음으로 복소수를 도입하고 복소수의 연산에 대해 살펴본다.

2.1 실수의 연산과 순서*

실수의 연산에 관한 성질*

공집합이 아닌 집합 $S$의 임의의 두 원소 $a, b$에 대하여 어떤 연산 $\ast$을 한 결과가 다시 집합 $S$의 원소가 될 때, 즉 \[ a \in S, b \in S\quad\Longrightarrow\quad a \ast b \in S \] 일 때, 집합 $S$는 그 연산 $\ast$에 대하여 닫혀 있다고 한다.¹

보기 임의의 두 자연수의 합과 곱은 항상 자연수이므로 자연수 전체의 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 각각 닫혀 있다. 한편, 두 무리수의 합이 항상 무리수인 것은 아니므로 무리수 전체의 집합은 덧셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

일반적으로 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$의 임의의 세 원소 $a, b, c$에 대하여 다음과 같이 덧셈과 곱셈 각각에 대한 결합법칙과 교환법칙이 성립하며 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립한다.

결합법칙 : $(a + b) + c = a + (b + c),\quad (ab)c = a(bc)$
교환법칙 : $a + b = b + a,\quad ab = ba$
분배법칙 : $a(b + c) = ab + ac,\quad (a + b)c = ac + bc$

한편 집합 $S$가 연산 $\ast$에 대하여 닫혀 있을 때, $S$의 임의의 원소 $a$에 대하여 \[ a\ast e = e \ast a = a \] 를 만족시키는 $S$의 원소 $e$가 존재하면 $e$를 연산 $\ast$에 대한 항등원이라고 한다. 또, 집합 $S$가 연산 $\ast$에 대하여 닫혀 있고 $e$가 $S$의 항등원일 때, 집합 $S$의 원소 $a$에 대하여 \[ a\ast x = x \ast a = e \] 를 만족시키는 $S$의 원소 $x$가 존재하면 $x$를 연산 $\ast$에 대한 $a$의 역원이라고 한다.

실수 전체의 집합에서 덧셈에 대한 항등원은 $0$, 곱셈에 대한 항등원은 $1$이다. 또 실수 $a$에 대하여 덧셈에 대한 역원은 $- a$, $0$이 아닌 실수 $b$의 곱셈에 대한 역원은 $1/b$이다.

유제 2.1 실수 전체의 집합에서 연산 $\triangle$를 \[ \mbox{임의의 두 실수 $a, b$에 대하여},\quad a \triangle b = (a + 2)(b + 2) - 2 \] 로 정의할 때, 연산 $\triangle$에 대한 항등원을 구하여라.

유제 2.2 실수 전체의 집합에서 연산 $\ast$를 \[ \mbox{임의의 두 실수 $a, b$에 대하여},\quad a \ast b = (a + 1)(b + 1) - 1 \] 로 정의할 때, 연산 $\ast$에 대한 $3$의 역원을 구하여라.

유제 2.3 실수 전체의 집합에서 연산 $\heartsuit$를 \[ \mbox{임의의 두 실수 $a, b$에 대하여},\quad a\heartsuit b = ab - 2(a + b) + 6 \] 으로 정의할 때, 연산 $\heartsuit$에 대한 역원이 존재하지 않는 실수를 구하여라.

이제, 실수 전체의 집합 위에서 정의된 덧셈과 곱셈의 연산에 대한 성질을 상기하면서, 그 기본 성질이 어떻게 이용되는지 알아보자.

예제 2.4 임의의 세 실수 $a, b, c$에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. \[ a + c = b + c\ \Longrightarrow\ a = b \]

Sol. $a + c = b + c$의 양변에 덧셈에 대한 $c$의 역원 $- c$를 더하면 \begin{align} \Rightarrow &\quad (a + c) + ( - c) = (b + c) + ( - c) \nonumber \\ \Rightarrow &\quad a+\left\{c+(-c)\right\}=b+\left\{c+(-c)\right\} \tag{덧셈에 대한 결합법칙}\\ \Rightarrow &\quad a + 0 = b + 0 \tag{덧셈에 대한 역원} \\ \Rightarrow &\quad a = b \tag{덧셈에 대한 항등원} \end{align} 따라서 $a + c = b + c$이면 $a = b$이다.

유제 2.5 임의의 세 실수 $a, b, c$에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라.

$a\cdot 0 = 0$
$c \neq 0$일 때, $ac = bc$이면 $a = b$이다.

예제 2.6 임의의 두 실수 $a, b$에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. \[ \mbox{$ab = 0$ 이면 $a = 0$ 또는 $b = 0$이다.} \]

Sol. 먼저 $a = 0$인 경우에는 증명할 것이 없으므로 $a \neq 0$라 가정하자. $a$의 곱셈에 대한 역원 $1/a$이 존재하므로 $ab = 0$의 양변에 $1/a$을 곱하면 \begin{align} \Rightarrow &\quad (1/a)\cdot (ab) = (1/a)\cdot 0 \nonumber \\ \Rightarrow &\quad ((1/a)\cdot a)b = 0 \tag{곱셈에 대한 결합법칙} \\ \Rightarrow &\quad 1\cdot b=0 \tag{곱셈에 대한 역원} \\ \Rightarrow &\quad b=0 \tag{곱셈에 대한 항등원} \end{align} 즉 $a= 0$이 아니라면 $b = 0$이므로 원하는 결과를 얻었다.

유제 2.7 임의의 두 유리수 $a, b$에 대하여 다음이 성립함을 증명하여라. \[ \mbox{$a + b\sqrt{2} = 0$이면 $a = 0$이고 $b = 0$이다.} \]

실수의 대소 관계*

임의의 실수는 수직선 위에서 한 점에만 대응되고, 이때 수직선에서 양수는 원점의 오른쪽에 있는 점에, 음수는 원점의 왼쪽에 있는 점에 대응된다. 따라서 실수는 양수, $0$, 음수로 분류된다. 한편 양수의 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 각각 닫혀 있으므로 $a$와 $b$가 양수이면 $a + b$와 $ab$도 양수이다. 이상을 정리하면 다음과 같다.

Proposition 2.1.1 (실수의 기본 성질)

임의의 실수 $a$에 대하여 다음 중 오직 하나만 성립한다. (삼일률)
임의의 두 양수 $a, b$에 대하여, $a+b$와 $ab$는 양수이다.

두 실수 $a, b$에 대하여 $a - b$도 실수이므로 실수의 기본 성질에 의하여 \[ \mbox{$a-b$는 양수},\quad a-b=0,\quad \mbox{$a-b$는 음수} \] 중에서 반드시 어느 하나만 성립한다. 이때

$a-b$가 양수이면 $a>b$
$a-b=0$이면 $a=b$
$a-b$가 음수이면 $a< b$

로 정한다. 따라서 두 실수 $a, b$에 대하여 \[ a>b,\quad a = b,\quad a< b \] 중에 반드시 어느 하나만 성립한다.

유제 2.8 실수의 기본 성질들을 이용하여 다음을 증명하여라.

$a< b$이고 $c>0$이면 $ac< bc$
$a< b$이고 $c<0$이면 $ac>bc$
임의의 실수 $a$에 대하여 $a^{2} \geq 0$
$1>0$

예제 2.9 임의의 실수 $a$에 대하여 $a>0$이면 $1/a>0$임을 증명하여라.

Sol. $1/a$은 실수이므로 \[ \frac{1}{a}>0,\quad \frac{1}{a} = 0,\quad \frac{1}{a}<0 \] 중 하나만 성립한다.

$1/a = 0$이면 $a \times 1/a = a \times 0 = 0$, 즉 $1 = 0$이 되어 모순이다.
$1/a<0$이면 $a \times 1/a < a \times 0 = 0$, 즉 $1<0$이 되어 모순이다.

따라서 $a>0$일 때는 $1/a>0$일 수밖에 없다.

유제 2.10 임의의 두 실수 $a, b$와 $0$이 아닌 임의의 실수 $c$에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

$a^{2} + b^{2} = 0$이면 $a = 0$이고 $b = 0$이다.
$a>b$이고 $c>0$이면 $a/c >b/c$이다.

유제 2.11 두 양수 $a, b$에 대하여 $a< b$이면 $1/b<1/a$임을 보여라.

유제 2.12 두 양수 $a, b$에 대하여 $a< b$일 필요충분조건은 $a^2< b^2$인 것임을 보여라.

자주 사용하는 실수의 대소 관계에 대한 성질을 정리하면 다음과 같다.

Theorem 2.1.2 (실수의 대소 관계에 대한 성질)
세 실수 $a, b, c$에 대하여 다음이 성립한다.

$a>b,\ b>c$이면 $a>c$이다.
$a>b$이면 $a+c>b+c$이고 $a-c>b-c$이다.
$a>b, c>0$이면 $ac>bc$이다.
$a>b, c<0$이면 $ac< bc$이다.

유제 2.13 세 실수 $a, b, c$에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

$a \geq b,\ b \geq a$이면 $a = b$이다.
$a \geq b,\ b \geq c$이면 $a \geq c$이다.

절댓값의 성질

수직선에서 실수 $a$를 나타내는 점과 원점 사이의 거리를 $a$의 절댓값이라고 하고 기호로 $\vert a\vert$와 같이 나타낸다. 혹은 $a$의 절댓값을 \[ \vert a\vert = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ - a & (a<0) \end{cases} \] 로 정의해도 된다.

일반적으로 절댓값은 다음과 같은 성질을 가진다.

Theorem 2.1.3 (절댓값의 성질)
임의의 두 실수 $a, b$에 대하여 다음이 성립한다.

$\vert a\vert\geq 0,\quad \vert a\vert=\vert -a\vert$
$\vert a\vert^{2}=a^{2} $
$\vert ab\vert=\vert a\vert \vert b\vert $
$\displaystyle\left\vert\frac{a}{b}\right\vert=\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}\quad (b\neq 0)$

유제 2.14 $- 2 \leq a<3$일 때, $\vert a + 4\vert + \vert a - 1\vert $을 간단히 하여라.

2.2 복소수

복소수의 뜻

제곱하여 $2$가 되는 양수를 $\sqrt{2}$로 나타내는 것과 마찬가지로 제곱하여 $- 1$이 되는 새로운 수를 하나 생각하여 $\sqrt{- 1}$로 쓴다. 이것을 기호 $i$로 나타내고, 이를 허수단위라고 한다.

임의의 두 실수 $a, b$에 대하여 \[ a + bi \] 의 꼴로 나타낸 수를 복소수(complex number)라 하고, $a$를 이 복소수의 실수부분, $b$를 허수부분이라고 한다. 또한 복소수 전체의 집합은 보통 $\mathbb{C}$로 나타낸다.

임의의 실수 $a$는 $a + 0i$의 꼴로 나타낸 것으로 생각하자. 그러면 실수 전체의 집합은 복소수 전체의 집합에 포함된다. 한편 실수가 아닌 복소수 \[ a + bi\ (b \neq 0) \] 를 허수라고 하고 실수부분이 $0$인 허수를 순허수라고 한다. ²

보기

네 개의 수 $3, 1 + i, 2i, 3 - 2i$는 모두 복소수이다. ³ 이때 $3$은 실수인 복소수이고, $1 + i, 2i, 3 - 2i$는 허수인 복소수이며 특히 $2i$는 순허수이다.
복소수 $2 + 3i$에서 실수부분은 $2$, 허수부분은 $3$이다.

두 복소수의 실수부분과 허수부분이 각각 같을 때, 두 복소수는 서로 같다고 한다. 즉 두 복소수 $a_{1}+b_{1}i, a_{2}+b_{2}i$에 대하여 \[ a_{1}+b_{1}i=a_{2}+b_{2}i\ \Longleftrightarrow\ \mbox{$a_{1}=a_{2}$이고 $b_{1}=b_{2}$} \] 이다. 복소수를 $z$와 같은 하나의 문자를 사용하여 간단히 나타내기도 한다. 그리고 앞으로는 복소수를 $a+bi$와 같이 나타낼 때는 특별한 언급이 없어도 $a, b$는 모두 실수인 것으로 생각한다.

$a, b$가 실수일 때, 복소수 $z=a + bi$에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $a - bi$를 $a + bi$의 켤레복소수라 하고, 이것을 기호로 \[ \overline{z}=\overline{a + bi} \] 와 같이 나타낸다. 즉, $\overline{a + bi} = a - bi$이다.

보기 $\overline{1 + i} = 1 - i, \overline{- i} = i, \overline{2} = 2$

이 보기를 통해 실수의 켤레복소수는 실수 자신과 같음을 알 수 있다.

복소수의 덧셈과 곱셈

복소수의 덧셈과 곱셈은 허수단위 $i$를 하나의 문자처럼 생각하여 계산한다. 이때 덧셈에서는 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산하고, 곱셈에서는 허수단위 $i$를 하나의 문자로 생각하여 계산한 다음 $i^{2}$을 $- 1$로 바꾼다. 즉, 두 복소수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의한다.

Definition 2.2.1 (복소수의 덧셈과 곱셈)
두 복소수 $a+bi, c+di$에 대하여 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정한다.

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

두 복소수의 덧셈과 곱셈의 결과는 모두 복소수이므로 복소수 전체의 집합은 덧셈과, 곱셈에 대하여 닫혀있다. 또, 실수에서와 마찬가지로 복소수의 덧셈과 곱셈에 대하여 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.

유제 2.15 임의의 복소수 $z, w, v$에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

$z + w = w + z$
$(z + w) + v = z + (w + v)$

유제 2.16 두 복소수의 곱셈의 결과는 항상 복소수임을 확인하고, 임의의 복소수 $z, w, v$에 대하여 다음 법칙이 성립함을 보여라.

$zw = wz$
$(zw)v = z(wv)$
$z(w + v) = zw + zv$

이상을 정리하면 다음과 같다.

Theorem 2.2.2 (복소수의 연산에 대한 기본 성질)
복소수 전체의 집합 $\mathbb{C}$의 임의의 원소 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$에 대하여 다음이 성립한다.

$z_{1}+z_{2}\in\mathbb{C},\quad z_{1}z_{2}\in \mathbb{C}$ (닫혀있음)
$(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$,(결합법칙)
$ (z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$
$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},\quad z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$(교환법칙)
$z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$, (분배법칙)
$ (z_{1}+z_{2})z_{3}=z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}$

임의의 복소수 $a + bi$에 대하여 \begin{align*} (a + bi) + 0 & = 0 + (a + bi) = a + bi,\\ (a + bi ) \cdot 1 & = 1 \cdot (a + bi ) = a + bi \end{align*} 이므로 덧셈에 대한 항등원은 $0$이고, 곱셈에 대한 항등원은 $1$이다. 한편 복소수 $a + bi$에 대하여 \[ (a + bi ) + (x + yi ) = 0 \] 을 만족시키는 복소수 $x + yi$를 구하여 보면 \[ (a + x) + (b + y)i = 0 \] 에서 $a + x = 0, b + y = 0$이므로 $x = - a, y = - b$이다. 따라서 복소수 $a + bi $의 덧셈에 대한 역원은 $- a - bi $이다.

또 $0$이 아닌 복소수 $a + bi$에 대하여 \[ (a + bi )(x + yi ) = 1 \] 을 만족시는 복소수 $x + yi $를 구하여 보면 \[ (ax - by) + (ay + bx)i = 1 \] 에서 $ax - by = 1, ay + bx = 0$이므로 ⁴ \[ x = \frac{a}{a^{2} + b^{2}},\quad y = - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} \] 이다. 따라서 복소수 $a + bi $의 곱셈에 대한 역원은 \[ \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}i \] 이다. 일반적으로 복소수 $z = a + bi$에 대하여 $z$의 덧셈에 대한 역원을 $- z$, 곱셈에 대한 역원을 $1/z=\frac{1}{z}$로 나타낸다. 이상을 정리하면 다음과 같다.

Theorem 2.2.3 (복소수의 덧셈, 곱셈에 대한 항등원과 역원)
임의의 복소수의 연산에 관하여 다음이 성립한다.

덧셈에 대한 항등원은 $0$이다.
곱셈에 대한 항등원은 $1$이다.
복소수 $z=a+bi$에 대한 덧셈의 역원 $-z$는 $-z=-a-bi$이다.
$0$이 아닌 복소수 $z=a+bi$에 대한 곱셈의 역원 $1/z=1/(a+bi)$는 \[ \frac{1}{z}=\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}i \] 이다.

보기 $1 + 2i$의 덧셈에 대한 역원은 \[ - (1 + 2i) = - 1 - 2i \] 이고 곱셈에 대한 역원은 \[ \frac{1}{1 + 2i} = \frac{1 - 2i}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{1 - 2i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i \] 이다.

복소수의 뺄셈과 나눗셈은 실수의 뺄셈, 나눗셈과 마찬가지로 각각 덧셈, 곱셈에 대한 역원을 이용하여 \[ z-w:=z+(-w),\quad z\div w:= z\times\frac{1}{w} \] 로 정의하며 따라서 다음과 같이 계산한다.

두 복소수 $z = a + bi, w = c + di$에 대하여 \begin{align*} z - w & = (a + bi ) - (c + di ) \\ & = (a + bi ) + ( - c - di )\\ & = (a - c) + (b - d)i \\ \end{align*} 그리고 \begin{align*} z \div w & = (a + bi ) \div (c + di )\\ & = (a + bi ) \times \left(\frac{c}{c^{2} + d^{2}} - \frac{d}{c^{2} + d^{2}}i\right)\\ & = \frac{ac + bd }{c^{2} + d^{2}} + \frac{bc - ad }{c^{2} + d^{2}}i. \quad\mbox{(단, $c + di \neq 0$)} \end{align*} 이상을 정리하면 다음과 같다.

Theorem 2.2.4 (복소수의 뺄셈과 나눗셈)
두 복소수 $a+bi, c+di$에 대하여

$(a + bi ) - (c + di ) = (a - c) + (b - d)i $
$ \displaystyle (a + bi ) \div (c + di ) = \frac{ac + bd }{c^{2} + d^{2}} + \frac{bc - ad }{c^{2} + d^{2}}i \quad\mbox{(단, $c + di \neq 0$)}$

특히 복소수의 나눗셈은 다음과 같이 분모의 켤레복소수를 분모, 분자에 각각 곱하여 계산할 수 있다. \[ \frac{a + bi }{c + di } = \frac{(a + bi )(c - di )}{(c + di )(c - di )} = \frac{(ac + bd ) + (bc - ad )i}{c^{2} + d^{2}} = \frac{ac + bd }{c^{2} + d^{2}} + \frac{bc - ad }{c^{2} + d^{2}}i \]

유제 2.17 다음을 계산하여 $a + bi $의 꼴로 나타내어라.

$(2 - 3i) + (1 + i)$
$\left(1 + \sqrt{3}i\right)^{2} - \left(1 - \sqrt{3}i\right)^{2}$
$\displaystyle\left(\frac{1 - i}{1 + i}\right)^{2}$
$\displaystyle\frac{1 + i}{2 - i}$

음수의 제곱근

음수의 제곱근이 무엇인지 살펴보자. 양수 $a$에 대하여 방정식 $x^{2}=-a$의 근을 $-a$의 제곱근이라고 부르는 것이 자연스럽다.⁵ 그런데 \[ (\sqrt{a}i)^{2} = ai^{2} = - a,\quad ( - \sqrt{a}i)^{2} = ai ^{2} = - a \] 이므로 $\sqrt{a}i$와 $- \sqrt{a}i$는 방정식 $x^{2}=-a$의 근이고⁶ 따라서 $\sqrt{a}i$와 $- \sqrt{a}i$는 $- a$의 제곱근이다. $\sqrt{a}i$는 $\sqrt{- a}$로 나타낸다.

유제 2.18 다음 수의 제곱근을 구하여라.

$- 36$
$- 5$
$- \dfrac{1}{49}$

일반적으로 음수의 제곱근은 다음과 같은 성질을 갖는다.

Theorem 2.2.4 (음수의 제곱근의 성질)

$a<0, b<0$일 때, $\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$
$a>0, b<0$일 때, $\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\frac{a}{b}}$

유제 2.19 다음을 간단히 하여라.

$i^{4n}$
$i^{4n + 3}$
$\displaystyle\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^{8n} + \left(\frac{1 - i}{\sqrt{2}}\right)^{8n}$
$\displaystyle\left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^{2020}$
$\displaystyle\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right)^{100} + \left(\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}\right)^{98}$

유제 2.20 $a = 3 + \sqrt{3}i, b = 3 - \sqrt{3}i$일 때, $a^{3} - a^{2}b - ab^{2} + b^{3}$의 값을 구하여라.

유제 2.21 $\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$일 때, $x^{4} - x^{3} + 3x - 2$의 값을 구하여라.

유제 2.22 자연수 $n$에 대하여 집합 $A_{n}$을 $A_{n}=\left\{ z\in\mathbb{C}\mid z^{n}=1\right\}$라 정의하자. $A_{n}$이 두 조건

$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\in A_{n}$
$z\in A_{n}$이면 $-z\in A_{n}$이다.

를 만족시킬 때, $n$의 최솟값을 구하여라.

좀 더 많은 수학을 공부한 후에는, 집합 $S$ 위의 `연산'을 $S\times S=\{(a, b)\mid a, b\in S \}$에서 $S$로 가는 함수로 이해하게 되는데, 이는 닫혀있지 않은 것은 아예 연산이라고 부르지도 않는다는 뜻이다.
$0+bi\ (b\neq 0)$꼴의 수는 물론 $bi$로 간략히 나타낸다.
물론 $3-2i$는 $3+(-2)i$를 간단히 쓴 것이다.
중학교에서 배운 $x, y$에 대한 연립일차방정식!
$n$이 자연수일 때, 방정식 $x^{n}=\alpha $의 근을 $\alpha$의 $n$제곱근이라고 부른다.
모든 근을 찾은 것일까?

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