사잇값 정리. 함수 $f$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이면, $f(a)$와 $f(b)$ 사이에 있는 임의의 $y_0$에 대하여, $y_0=f(c)$를 만족시키는 $c$가 구간 $(a, b)$에 존재한다.
증명 편의상 \( f(a)< y_0 < f(b) \)로 두고 집합 $ A=\{ x\in [a, b]\mid f(x) < y_0\} $를 생각하자. $a\in A$이고 $A\subset [a, b]$이므로 $A$는 공집합이 아니고 유계인 집합이다. 실수의 완비성 공리에 의해 $A$의 최소상계 $x_0\in\mathbb{R}$이 존재한다. $f(x_0)=y_0$임을 보이자. 수열 $\langle x_n\rangle$이 $A$의 원소들로 이루어진 $x_0$으로 수렴하는 수열이라 하자(왜 이런 수열을 택할 수 있는가?). $A\subset[a, b]$이므로 $x_0\in[a, b]$이다(왜 그런가?). 따라서 함수 $f$의 연속성과 집합 $A$의 정의 및 극한의 성질에 의해 $f(x_0)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)\leq y_0$가 성립한다. 만일 $f(x_0) < y_0$라면 $g(x)=y_0-f(x)$로 정의된 함수 $g$는 $x=x_0$일 때의 값이 양수인 연속함수이다. 따라서 $$ \vert x-x_0\vert < \delta \quad \Rightarrow\quad y_0-f(x) > \epsilon>0 $$ 를 만족시키는 양수 $\epsilon$과 양수 $\delta$가 존재한다(왜 이런 수들이 존재하는가?). 이때, $x_0 < x < x_0+\delta$를 만족시키는 모든 $x$에 대하여 $f(x) < y_0$가 되는데 이는 $x_0$이 $A$의 최소상계라는 사실에 모순이다. 또한 만일 $x_0$이 $a$ 혹은 $b$와 같다면 $f(a)=y_0$ 혹은 $f(b)=y_0$이 되므로, $x_0\in (a, b)$이다.