위상수학을 위한 연습문제 몇 가지 #2

대수적 위상수학 공부에 앞서, 기본적인 대수학 연습문제 몇 가지를 풀어보자.
문제 출처: W. Fulton의 Algebraic Topology의 부록 C.

Solution \(C\)의 연산을 \(+\)로 표시하자. \(A\oplus B\)의 원소 $(a, b)$를 $a+b$에 대응시키는 사상 \[ \varphi : A\oplus B\to C \] 는 isomorphism이다. 이를 보이는 것은 쉬운데, 종이가 좀 아까워도 겸손하게 풀어써보자. 우선 $+$가 $C$의 잘 정의된 연산이므로 $\varphi$는 잘 정의된 함수이다. 그리고 가정에 의해 $\varphi$가 onto인 것도 바로 얻는다. 이제 $\varphi$가 injection임을 보이자. 이를 위해 $C$의 원소를 [$A$의 한 원소]와 [$B$의 한 원소]의 합으로 나타내는 방법이 유일함을 보인다. 만일 $a, a'\in A$와 $b, b'\in B$에 대하여 \[ a+b=a'+b' \] 이 성립한다면, 양변을 정리하여 \[ a-a'=b'-b \] 를 얻는데, 이 식의 좌변은 $A$에 속하고 우변은 $B$에 속한다. 즉 $a-a'$과 $b'-b$는 모두 $A\cap B(=\{0\})$의 원소이므로 $a=a', b=b'$를 얻는다. 이는 곧 \[ a+b=0,\quad a\in A, b\in B \] 이면 $a=b=0$을 뜻하므로 $\ker(\varphi)=\{0\}$을 얻는다. 즉 $\varphi$는 1-1함수이다. 마지막으로 $\varphi$가 homomorphism임을 보이자. 이는 \begin{align*} \varphi((a, b)+(a', b')) & =\varphi(a+a', b+b')=(a+a')+(b+b') \\ & = (a+b)+(a'+b')=\varphi(a, b)+\varphi(a', b') \end{align*} 로 확인된다.

Solution 우선 풀이에 앞서 몇 가지 표기를 약속하고 direct sum과 direct product의 정의를 상기해보자. 그리고 지금 주어진 index set은 $J$로 두자.

1. $\varphi\in\operatorname{Hom}(\bigoplus A_\alpha, B)$의 뜻은 사상 $\varphi: \bigoplus A_\alpha\to B$가 homomorphism이라는 것이다. 그리고 $\varphi$는 $f\in\bigoplus A_\alpha$를 $B$의 원소로 대응시키는데, 이때 $f: J\to \amalg A_\alpha$는 \[ f(\alpha)\in A_\alpha\quad \mbox{and}\quad\mbox{$f(\alpha)=0$ exept for finitely many $\alpha$.} \] 를 만족시키는 함수이다.
2. $\psi\in\Pi\operatorname{Hom}(A_\alpha, B)$의 뜻은 함수 $\psi: J\to\amalg \operatorname{Hom}(A_\alpha, B)$가 모든 $\alpha\in J$에 대하여 \[ \psi(\alpha)\in \operatorname{Hom}(A_\alpha, B) \] 즉 $\psi(\alpha)$가 $A_\alpha$에서 $B$로가는 homomorphism이라는 뜻이다. 표기의 편의를 위해 $\psi(\alpha)=\psi_\alpha$로 간단히 나타내자.
3. 임의의 $\beta\in J$와 임의의 $a\in A_\beta$에 대하여 함수 $f_{\beta_a}: J\to \amalg A_\alpha $를 \[ f_{\beta_a}(\alpha):=\begin{cases} a, & \mbox{if $\alpha=\beta$} \\ 0_\alpha, & \mbox{if $\alpha\neq \beta$} \end{cases} \] 로 두면, $f_{\beta_a}$가 잘 정의된 함수이며 $f_{\beta_a}\in\bigoplus A_\alpha$임이 명백하다. 또한 임의의 $a, b\in A_\beta$에 대하여 \[ f_{\beta_{(a+b)}}(\alpha)=\begin{cases} a+b, & \mbox{if $\alpha=\beta$} \\ 0_\alpha, & \mbox{if $\alpha\neq\beta$} \end{cases} \] 이고 \[ (f_{\beta_a}+f_{\beta_b})(\alpha)=f_{\beta_a}(\alpha)+f_{\beta_b}(\alpha)=\begin{cases} a+b, & \mbox{if $\alpha=\beta$} \\ 0_\alpha & \mbox{if $\alpha\neq \beta$} \end{cases} \] 이므로 $f_{\beta_{(a+b)}}=f_{\beta_a}+f_{\beta_b}$이다. 그리고 $f\in \bigoplus A_\alpha$는 늘 유한개의 $\alpha$를 제외하곤 항상 $f(\alpha)=0$인데, 만일 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$을 제외한 모든 $\alpha$에 대하여 $f(\alpha)=0$이라 한다면, $f$는 \[ f=f_{\alpha_1{}_{f(\alpha_1)}}+\cdots+ f_{\alpha_m{}_{f(\alpha_m)}} \] 으로 나타낼 수 있다.

이제 본 문제를 풀어보자. 사상 \[ T: \prod \operatorname{Hom}(A_\alpha, B)\to \operatorname{Hom}(\bigoplus A_\alpha, B),\quad \psi\mapsto T(\psi) \] 를 \[ T(\psi)(f)=\sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha(f(\alpha)),\quad\mbox{for all $f\in \bigoplus A_\alpha$} \] 로 정의하면 $T$는 isomorphism이다.

1. (well-defined) 두 가지 사실
   • 각 $\alpha\in J$에 대하여 $\psi_\alpha$는 $A_\alpha$에서 $B$로 가는 homomorphism이고 따라서 $\psi(0)=0$이다.
   • 모든 $f\in \bigoplus A_\alpha$에 대하여 $f(\alpha)\neq 0$인 $\alpha\in J$는 항상 유한개 뿐이다.
   로부터 $\sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha(f(\alpha))$는 늘 유한합을 나타내고 특히 $B$의 원소이다. 또한 $\psi_1, \psi\in\Pi\operatorname{Hom}(A_\alpha, B)$에 대하여 $\psi_1=\psi$일 때, $T(\psi_1)=T(\psi_2)$가 성립한다는 것은 정의로부터 명백하다. 따라서 사상 $T(\psi): \bigoplus A_\alpha\to B$가 homomorphism property를 갖는다는 것만 확인하면 된다. 그런데 $f, g\in\bigoplus A_\alpha$에 대하여 \begin{align*} T(\psi)(f+g)& =\sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha((f+g)(\alpha)) \\ &= \sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha(f(\alpha)+g(\alpha)) \\ &= \sum_{\alpha\in J}\left( \psi_\alpha(f(\alpha))+\psi_\alpha(g(\alpha))\right) \\ &= \sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha(f(\alpha))+\sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha(g(\alpha))=T(\psi)(f)+T(\psi)(g) \end{align*} 이므로 원하는 결과를 얻는다.
2. (injective) $T(\psi_1)=T(\psi_2)$라면 모든 $f\in\bigoplus A_\alpha$에 대하여 $T(\psi_1)(f)=T(\psi_2)(f)$가 성립한다. 특히 $\beta\in J$와 $a\in A_\beta$에 대하여 \begin{align*} T(\psi_1)(f_{\beta_a})&= \sum_{\alpha\in J}\psi_{1 \alpha}(f_{\beta_a})=\psi_{1 \beta}(a), \\ T(\psi_2)(f_{\beta_a})&= \sum_{\alpha\in J}\psi_{2 \alpha}(f_{\beta_a})=\psi_{2 \beta}(a), \end{align*} 이므로 항상 $\psi_{1 \beta}(a)=\psi_{2 \beta}(a) $가 성립한다. 즉 임의의 $\beta\in J$와 임의의 $a\in A_\beta$에 대하여 $\psi_{1 \beta}(a)=\psi_{2 \beta}(a) $가 성립하므로 $\psi_1=\psi_2$이다.
3. (surjective) $\varphi\in\operatorname{Hom}(\bigoplus A_\alpha, B)$가 주어졌다고 하자. ([$T(\psi)=\varphi$ for some $\psi\in\Pi\operatorname{Hom}(A_\alpha, B)$]를 보여야 한다.)
   각 $\beta \in J$에 대하여 사상 $\psi: A_\beta\to B$를 \[ \psi_\beta(a)=\varphi(f_{\beta_a}),\quad a\in A_\beta \] 로 정의하자. 그러면 $\psi_\beta$는 homomorphism이다. 왜냐하면 임의의 $a, b\in A_\beta$에 대하여 \begin{align*} \psi_\beta(a+b)=\varphi(f_{\beta_{(a+b)}})& = \varphi(f_{\beta_a}+f_{\beta_b}) \\ & =\varphi(f_{\beta_a})+\varphi(f_{\beta_b})=\psi_\beta(a)+\psi_\beta(b) \end{align*} 이기 때문이다. 따라서 \[ \psi: J\to \coprod\operatorname{Hom}(A_\alpha, B),\quad \psi(\beta)=\psi_\beta \] 는 잘 정의된 함수이고 $\Pi\operatorname{Hom}(A_\alpha, B)$의 원소이다. 특히 모든 $f\in \bigoplus A_\alpha$에 대하여 \begin{align*} T(\psi)(f)&= \sum_{\alpha\in J}\psi_\alpha(f(\alpha))=\psi_{\alpha_1}(f(\alpha_1))+\cdots +\psi_{\alpha_m}(f(\alpha_m)) \\ &= \varphi(f_{\alpha_1{}_{f(\alpha_1)}})+\cdots+\varphi( f_{\alpha_m{}_{f(\alpha_m)}}) \\ &=\varphi(f_{\alpha_1{}_{f(\alpha_1)}}+\cdots+ f_{\alpha_m{}_{f(\alpha_m)}})=\varphi(f) \end{align*} 가 성립한다.
4. ($T$ is a homomorphism.) $\psi_1, \psi_2\in\Pi\operatorname{Hom}(A_\alpha, B)$일 때, 모든 $f\in\bigoplus A_\alpha$에 대하여 \begin{align*} T(\psi_1+\psi_2)(f)&= \sum_{\alpha\in J}(\psi_1+\psi_2)_\alpha(f(\alpha)) \\ &= \sum_{\alpha\in J}\left( \psi_{1 \alpha}(f(\alpha))+\psi_{2 \alpha}(f(\alpha))\right) \\ &= \sum_{\alpha\in J}\psi_{1 \alpha}(f(\alpha))+\sum_{\alpha\in J}\psi_{2 \alpha}(f(\alpha)) \\ &= T(\psi_1)(f)+T(\psi_2)(f) \end{align*} 가 성립한다. 즉 $T(\psi_1+\psi_2)=T(\psi_1)+T(\psi_2)$이다.

Solution \(\mathscr{B}=\{e_{\alpha}\}_{\alpha}\)가 \(F\)의 basis라 하자. \(\varphi\)가 전사함수이므로 각 \(\alpha\)에 대하여 \(\varphi(\tilde{e}_{\alpha})=e_{\alpha}\)인 \(\tilde{e}_{\alpha}\)를 하나씩 택할 수 있다. 이제 \(A\)의 부분군 \(\widetilde{F}=\langle\{\tilde{e}_{\alpha}\}\rangle\)를 생각하자. 이제 다음을 보이면 exercise C.5에 의해 원하는 결과를 얻을 수 있다.

1. \(A\)의 모든 원소는 [\(\widetilde{F}\)의 한 원소]와 [\(\ker(\varphi)\)의 한 원소]의 합으로 나타낼 수 있다.
2. \(\widetilde{F}\cap \ker(\varphi)=\{0\}\)
3. \(\widetilde{F}\cong F\)

[(i)의 증명.]

임의의 \(a\in A\)에 대하여 \[ \varphi(a)=\sum n_{\alpha_{i}}e_{\alpha_{i}}=\sum n_{\alpha_{i}}\varphi(\tilde{e}_{\alpha_{i}})=\varphi\left(\sum n_{\alpha_{i}}\tilde{e}_{\alpha_{i}}\right) \] 로 둘 수 있다. 이로부터 \[ a-\sum n_{\alpha_{i}}\tilde{e}_{\alpha_{i}}\in \ker(\varphi) \] 를 얻을 수 있고 이는 곧 적당한 \(b\in \ker(\varphi)\)에 대하여 \(a=\sum n_{\alpha_{i}}\tilde{e}_{\alpha_{i}}+b\)임을 뜻한다.


[(ii)의 증명.]

\(g\in \widetilde{F}\cap \ker(\varphi)\)라 하면 \[ g=\sum_{i=1}^{m}n_{\alpha_{i}}\tilde{e}_{\alpha_{i}} \] 로 둘 수 있고, 이때 \begin{align*} 0=\varphi(g)&=\varphi\left(\sum n_{\alpha_{i}}\tilde{e}_{\alpha_{i}}\right) \\ &= \sum n_{\alpha_{i}}\varphi(\tilde{e}_{\alpha_{i}})=\sum n_{\alpha_{i}}e_{\alpha_{i}} \end{align*} 이므로 \(\mathscr{B}\)의 일차독립성에 의해 \(n_{\alpha_{1}}=\cdots=n_{\alpha_{m}}=0\)이다. 즉 \(g=\sum 0\tilde{e}_{\alpha_{i}}=0\)이다. 따라서 \(\widetilde{F}\cap \ker(\varphi)=\{0\}\)이다.


[(iii)의 증명.]

함수 \(f: \widetilde{F}\to F\)를 \[ f(g):=\varphi(g),\quad g\in \widetilde{F} \] 로 정의하면 \(f\)는 잘 정의된 homomorphism이다. 또한 \(g=\sum n_{\alpha}\tilde{e}_{\alpha}\in \ker(f)\)이면 \begin{align*} 0=f(g)& =\varphi\left( \sum n_{\alpha}\tilde{e}_{\alpha}\right) \\ &=\sum n_{\alpha} \varphi(\tilde{e}_{\alpha})=\sum n_{\alpha}e_{\alpha} \end{align*} 이므로 \(n_{\alpha}=0, \forall \alpha\)이다. 즉 \(\ker(f)=\{0\}\)이다. 또한 \(f\)가 onto인 것은 자명하다. 따라서 군의 제1동형정리에 의해 \(\widetilde{F}\cong \widetilde{F}/\ker(f) \cong F\)가 성립한다.
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