대수적 위상수학 입문 #4

Introduction to Algebraic Topology #4

Scribed by Yeohyeon Lee

4. Algebra

4.1 Linear Algebra

이 강좌에서는 특별한 언급이 없으면, 늘 실수체 위에서의 벡터공간만을 생각한다.

• 공집합이 아닌 집합 \(V\)에 대하여 덧셈이라고 부르는 연산 \[ +: V\times V\to V \] 와 스칼라곱 \[ \cdot : \mathbb{R}\times V\to V \] 가 주어져 있으며 이들 덧셈과 스칼라곱이
  1. \((u+v)+ w= u+(v+w)\), for all \(u, v, w\in V\)
  2. \(u+v=v+u\), for all \(u, v\in V\)
  3. \(\exists 0\in V\) s.t. [\(u+0=0+u=u\), for all \(u\in V\)]
  4. For each \(u\in V\), \(\exists -u\in V\) s.t. \(u+(-u)=(-u)+u=0\)
  5. \(\forall u, v\in V,\ \forall r\in\mathbb{R}, r(u+v)=ru+rv\)
  6. \(\forall u\in V, \forall r, s\in\mathbb{R}, (r+s)u=ru+su\)
  7. \(\forall r, s\in\mathbb{R},\ \forall u\in V, r(su)=(rs)u\)
  8. \(\forall u\in V, 1u=u\)
  를 만족시키면 \(V\)를 (실수체 위의) 벡터공간이라 부른다.
• 우리가 처음 만난 벡터공간은 역시 \(\mathbb{R}^{n}\).
• \(V\)가 실수체 위의 벡터공간일 때, \(\dim(V)=n\)일 필요충분조건은 \(V\cong \mathbb{R}^{n}\)인 것이다.
• \(\mathscr{B}=\{ e_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\)가 \(V\)의 basis라는 것은 임의의 \(v\in V\)를 \(\mathscr{B}\)의 원소들의 linear combination으로 유일하게 나타낼 수 있다는 뜻이다. 즉 임의의 \(v\)에 대하여 \[ \left\vert \{ r_{\alpha}\mid r_{\alpha}\neq 0\}\right\vert <\infty,\quad v=\sum_{\alpha\in\mathscr{A}}r_{\alpha}e_{\alpha} \] 를 만족시키는 \(\{r_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\)이 유일하게 존재한다는 뜻이다. 그리고 이는 \(\langle \mathscr{B}\rangle=V\)이고 \[ \forall e_{\alpha_{1}}, \ldots, e_{\alpha_{n}}\in\mathscr{B},\ \gamma_{1}e_{\alpha_{1}}+ \cdots+\gamma_{n}e_{\alpha_{n}}=0\quad \Rightarrow\quad \gamma_{1}= \cdots =\gamma_{n}=0 \] 이라는 것과 동치이다.
• \(\mathscr{B}\)가 \(V\)의 basis일 때, \(\dim_{\mathbb{R}}V= \vert \mathscr{B}\vert\)로 정의한다. (잘 정의된다.)
• \(V\)가 벡터공간이고 \(W\subset V\)일 때, \(W\)가 \(V\)의 subspace라는 것은 \(W\)가 \(V\)로부터 물려받은 덧셈과 스칼라곱에 대하여 하나의 벡터공간을 이룬다는 뜻이다. 이때 \(W\leq V\)로 나타낸다.
• \(V, W\)가 모두 실수체 위의 벡터공간일 때, 함수 \(L : V\to W\)가 linear map이라는 것은 임의의 \(v, w\in V\)와 임의의 \(r\in\mathbb{R}\)에 대하여 \[ L(v+w)=L(v)+L(w),\quad L(rv)=rL(v) \] 가 성립한다는 뜻이다. 이때 \[ \ker(L)=L^{-1}(\{0\})\leq V,\quad \operatorname{Im}(L)=L(V)\leq W \] 가 성립한다. 또한 \[ \dim(V)=\dim(\ker L)+\dim(\operatorname{Im}(L)) \] 도 성립한다. 참고로 \(V\)가 유한차원일 때는 \(V\cong \ker(L)\oplus \operatorname{Im}(L)\)가 성립한다.
• \(\dim_{\mathbb{R}}(v)=n\)이면 \(V\cong \mathbb{R}^{n}\)이다. 즉 \(V\)와 \(\mathbb{R}^{n}\)사이에 isomorphism이 존재한다.
• \(W\leq V\)일 때, \(V\) 위에 동치관계 \(\sim\)를 \[ v_{1}\sim v_{2}\quad\Leftrightarrow\quad v_{1}-v_{2}\in W \] 는 하나의 동치관계가 된다. 관계 \(\sim\)의 동치류들을 모두 모아 놓은 집합 \(V\!/\!_{\sim}\)을 \(V\!/\!_{W}\)로 나타낸다. 물론 \(V\!/\!_{W}\)를 하나의 벡터공간으로 이해해보는 시도를 할 것이다.

Proof. 물론 \(V\!/\!_{W}\) 위에 정의된 자연스러운 덧셈과 스칼라곱은 \[ [v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}],\quad r[v]=[rv] \] 로 정의한다. 이 연산들의 well-definedness나 이 공간이 벡터공간을 이룬다는 것은 매우 쉽게 확인할 수 있다. 지금은 덧셈이 잘 정의되는 것만 확인해보자. 즉 \([v_{1}]=[v_{1}']\)이고 \([v_{2}]=[v_{2}']\)일 때, \([v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}']+[v_{2}']\)임을 확인해보자. 지금 정의한 동치류의 정의에 의해 \[ v_{1}-v_{1}'\in W,\quad v_{2}-v_{2}'\in W \] 이고 \(W\)가 subspace이므로 \((v_{1}+v_{2})-(v_{1}'+v_{2}')\in W\)이 성립한다. 즉 \([v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}']+[v_{2}']\)이 성립한다. 한편 \(\pi\)가 linear map인 것은 \begin{align*} \pi(v+w) & =[v+w]=[v]+[w]+\pi(v)+\pi(w), \\ \pi (rv) & = [rv]=r[v]=r\pi(v) \end{align*} 으로 역시 간단히 확인된다. 마지막으로 \(\ker(\pi)=W\)를 보이자. \(V\!/\!_{W}\)의 덧셈 항등원이 \(W\)인 것을 상기하자. \(w\in W\)이면 \(\pi(w)=[w]=W\)이므로 \(w\in\ker(\pi)\)이다. 그리고 \(v\in\ker(\pi)\)이면 \(\pi(v)=[v]=W\)이므로 \(v\in W\)가 성립한다.

Proof. \(\widetilde{L}([v]):=[L(v)]\)로 정의하면 모든 것이 순리대로 증명된다. 먼저 이것이 잘 정의됨을 보이자. \([v_{1}]=[v_{2}]\)는 \(v_{1}-v_{2}\in W\)라는 뜻이므로 \(v_{1}=w+v_{2}\)인 \(w\in W\)가 있다. 따라서 \[ \widetilde{L}([v_{1}])=[L(v_{1})]=[L(w+v_{2})]=[L(w)+L(v_{2})] \] 이다. 그런데 가정에 의해 \(L(w)\in W'\)이므로 \([L(w)+L(v_{2})]=[L(v_{2})]\)이다, 즉 \(\widetilde{L}([v_{1}])=\widetilde{L}([v_{2}])\)가 성립한다. 이제 \(\widetilde{L}\)가 linear임을 보이자. \begin{align*} \widetilde{L}([v_{1}]+[v_{2}])& =\widetilde{L} ([v_{1}+v_{2}]) \\ & = [L(v_{1}+v_{2})] = [ L(v_{1})+L(v_{2})] = [L(v_{1})]+[L(v_{2})] \end{align*} 이다. \(\widetilde{L}(r[v])=r\widetilde{L}([v])\)는 생략.

• 두 벡터공간 \(V, W\)에 대하여\footnote{여러개의 벡터공간을 언급할 때는, 당연히, 특별한 언급이 없으면 동일한 체 위의 벡터공간들을 생각하는 것이다.} \[ V\oplus V:=\{ (v, w)\mid v\in V,\ w\in W\} \] 로 정의하고 \(V\oplus W\) 위에 연산을 \begin{align*} (v_{1}, w_{1})+(v_{2}, w_{2}) & = (v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}) \\ r(v, w) & = (rv_{1}, rw_{1} ) \end{align*} 로 정의하면 \(V\oplus W\)는 하나의 벡터공간이 된다. 이 공간을 \(V\)와 \(W\)의 direct sum이라 부른다.
• \(n\)개의 벡터공간 \(V_{i}, i=1, \ldots, n\)에 대하여 \(\oplus_{i=1}^{n}V_{i}\)도 자연스럽게 정의한다. 예를 들어 \(\mathbb{R}^{n}=\underbrace{\mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}_{n\text{개}}\)이다.
• \(\mathscr{A}\)가 임의의 index set일 때, direct sum \(\oplus_{\alpha\in\mathscr{A}}V_{\alpha}\)와 direct product \(\prod_{\alpha\in\mathscr{A}}V_{\alpha}\)를 각각 \begin{align*} \bigoplus_{\alpha\in\mathscr{A}}V_{\alpha} & :=\left\{ \left. f: A\to \amalg V_{\alpha}\ \right\vert\ f(\alpha)\in V_{\alpha}, \mbox{ $f(\alpha)=0$ exept for finitely many \(\alpha\)}\right\}, \\ \prod_{\alpha\in\mathscr{A}}V_{\alpha} & := \left\{ \left. f: A\to \amalg V_{\alpha}\ \right\vert\ f(\alpha)\in V_{\alpha}\right\} \end{align*} 로 정의한다.
• \(\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R}):=\{ A\in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})\mid \det(A)\neq 0\}\)는 그 이름(general linear group)에서도 알 수 있듯이 행렬곱에 아래에서 하나의 group이 된다. 그런데 \(n\times n\)행렬을 \(\mathbb{R}^{n^{2}}\)의 원소로 이해하면 \(\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\)을 보통위상공간 \(\mathbb{R}^{n^{2}}\)의 부분공간으로 이해할 수 있다.
• 행렬곱을 \((A, B)\mapsto AB\)로 정의된 연산으로 이해하면 \[ \cdot : \mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\times\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\to \mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R}) \] 는 하나의 연속함수로 이해할 수 있다. 또한 \(A\in\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\)를 \(A^{-1}\)에 대응시키는 함수 \[ ^{-1}: \mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\to \mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R}) \] 도 연속함수이다. 참고로 이와같이 군과 위상이 잘 맞물려 있는 군이 바로 그 유명한 Lie Group이라 부른다. Lie group은 참으로 중요한 군으로 수학에서 중요한 군은 대체로 다 Lie group이라 생각해도 될 정도라고 한다.
• \(\mathbf{GL}_{1}(\mathbb{R})=\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

Proof. (Claim) 두 집합 \begin{align*} \mathbf{GL}_{n}^{+}(\mathbb{R})& = \left\{ A\in\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\mid \det(A)>0\right\}, \\ \mathbf{GL}_{n}^{-}(\mathbb{R})& = \left\{ A\in\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\mid \det(A)< 0\right\} \end{align*} 가 모두 path component임을 보이자. \(\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\)은 \(\mathbb{R}^{n^{2}}\)의 open subset이다. 그러니 아마 조금씩 \(A\)를 움직인다고 해도 \(\det(A)\)의 부호는 바뀌지 않을 것이다. 더욱이 \(\det\)가 연속함수이지 않는가. 한편 \(\mathbb{R}^{n^{2}}\)가 locally connected이니, \(\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\)도 locally connected이고, 이는 이 공간에서는 path conn.와 그냥 conn.가 동일한 개념임을 알고 있다.
지금 보여야 할 것은 \(A\in\mathbf{GL}_{n}^{+}(\mathbb{R})\)일 때, \(\gamma(0)=A\)이고 \(\gamma(1)=I\)인 path \(\gamma: [0, 1]\to \mathbf{GL}_{n}^{+}(\mathbb{R})\)가 존재한다는 것이다. 이것을 잘 보일 수 있으면 \(B\in\mathbf{GL}_{n}^{-}(\mathbb{R})\)인 경우도 같은 요령으로 \[ \gamma(0)=B,\quad \gamma(1)=\begin{pmatrix} I_{n-1, n-1} & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] 인 path \(\gamma: [0, 1]\to \mathbf{GL}_{n}^{-}(\mathbb{R})\)가 존재함을 보일 수 있을 것이다.
행렬 \[ A=\left(\begin{array}{c|c|c|c} A_{1} & A_{2} & \cdots & A_{n} \end{array}\right) \] 를 생각할 때, \(n\)개의 열벡터를 잘 변형하여서 \(A\)가 \(I\)가 되도록 만들 수 있을 것인가가 관건이다. \(3\)차원일 때를 생각해보자. \(A\)의 determinant가 \(0\)이 아니므로 \(3\)개의 열벡터 \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\)를 생각할 때 이들이 다 일차독립이다. 이 세 벡터의 일차독립성을 유지하면서 이들을 표준직교기저로 변형하는 방법이 있다면 그것이 바로 \(\gamma\)가 존재한다는 이야기가 되는 것이다. 이렇게 생각해보면 그리 어려운 내용이 아니라고 하는데... 아무튼 이러한 기하학적인 아이디어를 잘 정리하고 일반화하여 기술하면 일반적인 \(n\)차원 공간일 때 path \(\gamma\)의 존재성을 잘 보일 수 있을 것이다.
일반적인 \(n\)차원의 경우에 대한 증명은 꼭 시간을 내어서 정리를 해보도록 하자. 좋은 연습문제인 듯 하다. 지금은 \(\mathbf{GL}_{n}^{+}(\mathbb{R})\)와 \(\mathbf{GL}_{n}^{-}(\mathbb{R})\)가 모두 path connected임을 보였다고 가정하자. 그러면 \(\mathbf{GL}_{n}^{-}(\mathbb{R})\)의 원소를 하나라도 갖고 있으면서 \(\mathbf{GL}_{n}^{+}(\mathbb{R})\)를 포함하는 연결성분은 있을 수 없다. 왜냐하면 그러한 연결성분이 있다면 \(\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\)이 연결공간이 되는 모순이 발생한다. \(\det^{-1}((-\infty, 0)\cup (0, \infty))\)를 생각하면 \(\mathbf{GL}_{n}(\mathbb{R})\)이 연결이 아닌 것은 매우 자명하다.)

4.2 Groups; Free Abelian Groups

• \((G, \cdot)\)가 하나의 group이고 \(H\leq G\)일 때, 집합 \(gH:=\{ gh\mid h\in H\}\)를 left coset of \(H\)라 부른다. Right coset of \(H\)도 비슷하게 정의한다.
• \(G\)의 subgroup \(H\)가 주어지면, \(H\)를 이용하여 \(G\)에 하나의 동치관계를 부여할 수 있다. 즉 \(G\) 위의 관계 \(\sim\)을 \[ a\sim b\quad \Leftrightarrow\quad b^{-1}a\in H \] 로 정의하면 \(\sim\)는 잘 정의된 동치관계가 된다. 이때 \(a\sim b\)일 필요충분조건은 \(aH=bH\)인 것이다.
• \(H\unlhd G\), 즉 \(H\)가 \(G\)의 normal subgroup이라는 것은 \(H\)가 \(G\)의 부분군이면서, 임의의 \(g\in G\)에 대하여 \(gHg^{-1}\subset H\)가 성립한다는 뜻이다. 사실 이는 $H\leq G$이면서 임의의 $g$에 대하여 $gHg^{-1}=H$인 것과 동치이다.
• $H\unlhd G$이면 $H$의 left coset들의 모임 $G\!/\!_H$는 하나의 군이 된다. 물론 연산도 자연스럽게 정의한다. 이때의 자연스러운 사상 \[ \pi: G\to G\!/\!_H \] 는 역시 group homomorphism이 된다.
• 사상 $\varphi : G_1\to G_2$가 group homomorphism일 때, \[ \operatorname{Im}(\varphi)\cong G_1\!/\!_{\ker(\varphi)} \] 가 성립한다는 것이 군의 제1동형정리이다.
• 벡터공간에서의 경우와 유사하게 다음 정리가 성립한다.

Proof. 사상 $\widetilde{\varphi}$를 $\widetilde{\varphi}([g_1]):=[\varphi(g_1)]$로 정의하자. 그러면 나머지는 순리대로 증명된다. ㅎㅎ.

Proof. $\varphi$가 잘 정의되는 것은 보일 필요도 없다. 나머지도 매우 자명.

• 군 $G_1$에서 군 $G_2$로 가는 모든 homomorphism들의 모임을 $\operatorname{Hom}(G_1, G_2)$로 나타낸다. 즉 \[ \operatorname{Hom}(G_1, G_2):=\left\{\left. \varphi: G_1\to G_2\ \right\vert\ \mbox{$\varphi$는 homomorphism.}\right\}. \]

Proof. 사실 앞에서 다룬 함수들로 bijection을 찾을 수 있다. 바로 $\varphi$와 $\widetilde{\varphi}$를 이용하여 이 정리를 증명할 수 있다. 자세한 내용은 생략.

• 집합 $S$를 포함하는 $G$의 부분군들 중 가장 작은 부분군을 $\langle S\rangle$로 나타낸다. 즉 \[ \langle S\rangle=\bigcap_{S\subset H\leq G}H \]이다. 혹은 공집합이 아닌 집합 $S$에 대하여, $\langle S\rangle$을 \begin{align*} \langle S\rangle & :=\left\{ s_1^{\pm 1}\cdots s_k^{\pm 1}\mid s_i\in S, k\in \mathbb{B}\right\} \\ & = \left\{ s_1^{n_1}\cdots s_k^{n_k}\mid s_i\in S, n_k\in\mathbb{Z}, k\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} 로 정의할 수도 있다.
• 군 \(G\)의 두 원소 \(x, y\)에 대하여 \[ [x, y]:=xyx^{-1}y^{-1} \] 를 \(x, y\)의 commutator라 부른다. 이때 \[ [x, y]=e \quad \Leftrightarrow \quad xy=yx \] 이다. 또한 \[ [x, y]^{-1}=[y, x] \] 인 것은 정의로부터 바로 확인할 수 있다.
• 사상 \(\varphi : G\to K\)가 group homomorphism일 때 \[ \varphi([x, y])=[\varphi(x), \varphi(y)] \] 가 성립한다. 증명도 매우 간단한데 그냥 써보면 다음과 같이 된다. \[ \varphi([x,y])=\varphi(xyx^{-1}y^{-1})=\varphi(x)\varphi(y)(\varphi(x))^{-1}(\varphi(y))^{-1}=[\varphi(x), \varphi(y)] \]
• 군 \(G\)와 한 원소 \(g\in G\)에 대하여, \(\varphi(x)=gxg^{-1}\)로 정의된 사상 \(\varphi : G\to G\)는 homomorphism이다. (이를 inner homomorphism이라 부른다.) 앞의 관찰로 부터 \[ g[x, y]g^{-1}=[gxg^{-1}, gyg^{-1}] \] 인 것을 알수 있다.
• 군 \(G\)에 대하여 \([G, G]\)를 다음과 같이 정의한다. \[ [G, G]:= \langle \{ [x, y]\mid x, y\in G\}\rangle \] 앞의 관찰들로부터 \([G, G]\)는 다음과 같이 표현할 수 있음을 얻는다. \[ [G, G]=\{ [x_{1}, y_{1}]\cdots[x_{n}, y_{n}]\mid x_{i}, y_{i}\in G,\ n\in\mathbb{N}\} \] 이다. 그리고 \([G, G]\)는 \(G\)의 normal subgroup이 된다. 따라서 \([G, G]\)를 commutator subgroup이라고 부른다. 참고로 \(G\)가 가환군이었다면 모든 commutator가 항등원이니 commutator group은 항등원만을 갖고 있는 부분군이 된다. 이 commutator group은 군 \(G\)가 얼마나 `가환'과 멀리 떨어져 있는가를 나타내는 것이라고 말 할 수도 있겠다. 이제 \([G, G]\)가 \(G\)의 normal subgoup이 됨을 확인해보자.
  임의의 $g\in G$에 대하여 \[ g([x_1, y_1]\cdots [x_n, y_n])g^{-1}\in [G, G] \] 가 성립함을 확인하면 된다. 그런데 이는 \begin{align*} g([x_1, y_1]\cdots [x_n, y_n])g^{-1} & = g[x_1, y_1]g^{-1}g[x_2, y_2] g^{-1}\cdots g[x_n, y_n]g^{-1 }\\ & = [gx_1g^{-1}, gy_1g^{-1}]\cdots [gx_ng^{-1}, gy_ng^{-1}]\in [G, G] \end{align*} 와 같이 단순계산을 통해 바로 확인된다. 이제 commutator subgroup과 관련하여 다음 정리를 살펴보자.

Proof. \begin{align*} \forall x, y\in G,\ [x][y]=[y][x]\quad & \Leftrightarrow\quad \forall x, y\in G,\ [xy]=[yx] \\ & \Leftrightarrow\quad \forall x, y\in G,\ (yx)^{-1}(xy)\in N \\ & \Leftrightarrow\quad \forall x, y\in G,\ [x^{-1}, y^{-1}]\in N \\ & \Leftrightarrow\quad [G, G]\subset N \end{align*}

Proof. 이미 $\operatorname{Hom}(G/[G, G], A)$와 $\left\{ \varphi\in\operatorname{Hom}(G, A)\mid [G, G]\subset \ker(\varphi)\right\}$ 사이에 1-1 대응이 있음을 알고 있다. (지금까지의 관찰을 잘 종합해보면 정말 그렇다는 것을 확인할 수 있다. 추후 이부분을 풀어써보자.) 그러므로 $G$에서 $A$로 가는 모든 homomorphism이 실은 $[G, G]\subset \ker(\varphi)$를 만족시킨다는 것을 보이면 충분하다.
만일 $\varphi\in\operatorname{Hom}(G, A)$라면 ($A$가 가환이므로) \[ \varphi(xyx^{-1}y^{-1})=\varphi(x)\varphi(y)\varphi(x)^{-1}\varphi(y)^{-1}=e \] 이다. 즉 $[G, G]\subset\ker(\varphi)$이다.

• $G_i$들이 group들일 때, \[ G_1\times\cdots\times G_n \] 은 자연스럽게 군이된다. 참고로 $G_i$들이 덧셈표기를 쓰는 군들일 때는 \[ G_1\oplus\cdots\oplus G_n \] 으로 쓰기도 한다. 또한 $\{ G_\alpha\}_{\alpha\in\mathscr{A}}$가 group들의 family일 때, \[ \bigoplus_{\alpha\in\mathscr{A}}G_\alpha,\quad \prod_{\alpha\in\mathscr{A}}G_\alpha \] 들도 역시 자연스럽게 군이된다. 물론 $\bigoplus G_\alpha \subset \prod G_\alpha$이다.
• $X$가 집합이고 $A$가 abelian group일 때, 집합 \[ \left\{ f: X\to A\mid \mbox{$f$는 함수}\right\} \] 에서 자연스럽게 군의 구조를 생각할 수 있다. 물론 여기서 $f$와 $g$의 덧셈은 \[ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \] 로 정의한다.
• $G$가 군이고, $A$는 특별히 가환군일 때, $\operatorname{Hom}(G, A)$는 가환군이 된다. 여기서 $A$가 가환군이 아니라 그냥 군이라면, $\operatorname{Hom}(G, A)$는 그냥 집합에 불과한데 $A$가 가환이라는 조건이 없다면 두 원소 $f, g$의 덧셈이 homomorphism이라는 보장이 없기 때문이다.