대수적 위상수학 입문 #3

Introduction to Algebraic Topology #3

Scribed by Yeohyeon Lee

이번 주도 그냥 꾸준히 기초 배경지식을 상기해본다.

2.4 Lebesque Lemma

여기서는 약방의 감초(?)처럼 쓰이는 보조정리 두 개를 살펴본다.

Proof. (Contrapositive) 결론을 부정하면, 임의의 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 \[ \operatorname{diam}(A_{n})<\frac{1}{n},\quad A_{n}\not\subset U_{\alpha}, \forall \alpha\in\mathscr{A} \] 를 만족시키는 \(K\)의 부분집합 \(A_{n}\)이 존재한다. 그러면 각 $n$에 대하여 \(p_{n}\in A_{n}\)을 잡을 수 있다. \(K\)는 sequentially compact이므로 \(K\)의 점 \(p\)로 수렴하는 \(\{p_{n}\}\)의 부분열 \(\{p_{n_{k}}\}\)가 존재한다. 이때 \(p\in U_{\alpha}\)인 \(U_{\alpha}\)가 존재하며 \(B_{\varepsilon}(p)\subset U_{\alpha}\)를 만족시키는 양수 \(\varepsilon\)가 존재한다. \(p_{n_{k}}\to p\)이므로 적당한 양의 정수 \(N\)에 대하여 \[ n_{k}>N\quad \Rightarrow\quad p_{n_{k}}\in B_{\varepsilon/2}(p) \] 이 정립한다. 그런데 \(n_{k_{0}}>N\)와 \(1/n_{k_{0}} <\varepsilon/2\)를 모두 만족시키는 충분히 큰 \(n_{k_{0}}\)를 잡으면, 모든 \(x\in A_{n_{k_{0}}}\)에 대하여 \[ d(p, x)\leq d(p, p_{n_{k_{0}}})+d(p_{n_{k_{0}}}, x) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \] 이므로 \(x\in B_{\varepsilon}(p)\)가 성립한다. 즉 \(A_{n_{k_{0}}}\subset B_{\varepsilon}(p)\)이다. 그런데 이는 \(A_{n_{k_{0}}}\subset U_{\alpha}\)를 뜻하므로 모순이다.

Proof. 각 \(j\in \mathbb{N}\)에 대하여, \[ K_{k}:=\left\{ z\in U\ \left\vert\ \Vert z\Vert\leq j,\ d\left( z, U^{C}\right)\geq \frac{1}{j}\right.\right\} \] 로 잡으면 된다카더라.

3. Analysis

이번 장에서도 본격적인 대수위상을 공부하지는 않고, 사전지식 점검차원으로 해석학의 기본지식 몇 가지를 살펴본다. 나에겐 준비운동이 더 필요하다.

3.1 Results from Plane Calculus

• 함수 \(f : \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}\)가 \(C^{k}\)-function이라는 것은 \(f\)가 \(i\leq k\)인 모든 \(i\)에 대하여 임의의 \(i\)번 편미분이 가능하고, 그때 얻어진 각 편도함수가 연속이라는 뜻이다.
• 함수 \(f : \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}\)가 \(C^{\infty}\)-function이라는 것은 \(f\)가 모든 \(i\in\mathbb{N}\)에 대하여 임의의 \(i\)번 편미분이 가능하고, 그때 얻어진 각 편도함수가 연속이라는 뜻이다.

Remark. 물론 이 등식의 우변은 \(\mathscr{D}\)의 경계를 따른 양의 방향 곡선 위에서의 선적분이다. 지금은 직사각형 위에서의 적분이므로 그냥 \begin{align*} \int_{\partial\mathscr{D}} p\ \mathrm{d}x+ q\ \mathrm{d}y:= \int_{a}^{b}p(x, c)\ \mathrm{d}x+& \int_{c}^{d}q(b, y)\ \mathrm{d}y \\ & -\int_{a}^{b}p(x, d)\ \mathrm{d}x-\int_{c}^{d}q(a, y)\ \mathrm{d}y \end{align*} 가 우변의 정의라고 생각해도 된다.

Proof. Fubini's Theorem을 이용하면 아주 쉽게 증명된다. 즉 등식 \[ \iint_{\mathscr{D}}\frac{\partial q}{\partial x}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}\frac{\partial q}{\partial x}\ \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=\int_{c}^{d}q(b, y)-q(a, y)\ \mathrm{d}y \] 를 이용하면 된다. 나머지 항들에 동일하게 Fubini정리를 적용하면 기계적으로 등식이 증명된다. 일반적인 영역에서의 그린 정리도 증명해보자.

Remark. 역시 그린의 정리는 \[ \iint_{\mathscr{D}}\mathrm{d}\omega = \int_{\partial \mathscr{D}}\omega \] 로 쓰는게 더 흐뭇하다. 여기서 \(\omega\)는 그린의 정리니까 \(\omega=p\ \mathrm{d}x+ q\ \mathrm{d}y\)이다.

Proof.

1. \((a, b)=(0, 0)\)인 경우. \begin{align*} f(x, y) & = \int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial t}\left( f(tx, ty)\right)\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{1} x\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(tx, ty) + y\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(tx, ty)\ \mathrm{d}t \\ & = x \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x}(tx, ty)\ \mathrm{d}t+ y\int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x}(tx, ty)\ \mathrm{d}t \end{align*} 이므로 원하는 결과를 얻는다. (이때 \(\mathscr{D}\)가 convex라는 조건을 이용해 \(f(tx, ty)\)가 잘 정의됨을 얻었다. 사실 \(\mathscr{D}\)가 그냥 열린집합이라고 가정해도 문제 없을 듯 하다.)
2. 일반적인 경우는 \(\overline{f}(x, y):= f(x+a, y+b)\)로 정의하면 \(\overline{f}\)는 (i)의 경우에 해당하는 함수가 되어 마찬가지 결론을 얻는다.

3.2 Partition of Unity

• 학부수준의 수학에서는 자주 볼 일이 없었지만, 고급 수학에서 꽤 유용하게 쓸 수 있다는 `단위 분할(partition of unity)'라는 정리를 살펴보자. 이를 위해 몇 가지 용어를 먼저 정의하자.
• 함수 \(f: S\to \mathbb{R}\)에 대하여 \(f\)의 받침집합(support set)을 기호로 \(\operatorname{supp}(f)\)로 나타내고 \[ \operatorname{supp}(f):=\{ x\in S\mid f(x)\neq 0\} \] 으로 정의한다.\footnote{책에 따라서는 $\operatorname{supp}(f)=\overline{\{ x\in S\mid f(x)\neq 0\}}$으로 정의하기도 하는 듯. }
• 위상공간 \((X, \mathscr{T})\)의 부분집합들의 모임 \(\{ S_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathscr{A}}\)이 locally finite이라는 것은 \(X\)의 임의의 점 $p$에 대하여 \[ U_{p}\cap S_{\alpha}\neq \varnothing\quad \mbox{for finitely many $\alpha\in\mathscr{A}$} \] 를 만족시키는 \(p\)의 열린 근방 $U_{p}$가 존재한다는 뜻이다. 즉 locally finite인 집합족 \(\{S_{\alpha}\}\)는 국소적으로 \(\{S_{\alpha}\}\) 유한개의 원소들만 보인다고 표현할 수도 있겠다.

• 위 정리의 \(\{h_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\)를 partition of unity subordinate to \(\{U_{\alpha}\}\)라 부른다.
• 위 정리의 증명에 앞서서 이 정리를 응용한 예를 하나 살펴보자. Urysohn Lemma의 내용은 \(X\)가 normal space이고 \(A, B\)가 서로 만나지 않는 \(X\)의 닫힌 부분집합들일 때, \(\varphi\big\vert_{A}\equiv 1\)와 \(\varphi\big\vert_{B}\equiv 0\)을 만족시키는 연속함수 \(\varphi : X\to [0, 1]\)가 존재한다는 것이다. 그런데 partition of unity의 존재를 이용하면, 연속함수가 아니라 \(C^{\infty}\)-function을 얻을 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

Proof. \(U_{1}=B^{C}, U_{2}=A^{C}\)로 두면 \(\mathbb{R}^{n}=U_{1}\cup U_{2}\)이다. 이때 \(\{U_{1}, U_{2}\}\)의 partition of unity \(\{h_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\)이 존재한다. 이때 각 \(i\in \mathbb{N}\)에 대하여 \[ \operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{1}\quad\mbox{혹은}\quad\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{2} \] 중 하나만 성립한다. 이제 함수 \(\varphi : \mathbb{R}^{n}\to [0, 1]\)을 \[ \varphi =\sum_{\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{1}}h_{i} \] 로 정의하자. 그러면 \(h_{i}\)들의 support set들의 모임이 갖고 있는 locally finite 성질 때문에 \(\mathbb{R}^{n}\)의 각 점에 대한 \(\varphi\)의 값은 유한개의 \(h_{i}\)들의 함숫값의 합으로써 잘 정의됨을 알 수 있고 특히 \(\varphi\)는 \(C^{\infty}\)-function이다.\par 그런데 \(\varphi\)는 \(\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{1}\)를 만족시키는 \(h_{i}\)들의 합으로 정의되었는데 \(U_{1}=B^{C}\)이므로 \(\varphi\big\vert_{B}\equiv 0\)이다. 한편 \(\{h_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\)가 partition of unity이므로 \[ \sum_{i\in\mathbb{N}}h_{i}\equiv \sum_{\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{1}}h_{i}+\sum_{\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{2}}h_{i}\equiv 1 \] 이 성립하는데 \(\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{2}\)인 모든 \(h_{i}\)에 대하여 \(h_{i}\big\vert_{A}\equiv 0\)이므로 \[ \sum_{\operatorname{supp}(h_{i})\subset U_{1}}h_{i}\equiv 1 \] 즉 \(\varphi\big\vert_{A}\equiv 1\)가 성립한다.

• 이제 partition of unity의 존재를 증명하기 위해 cut-off function이라 부르는 것이 존재함을 보이고, 이를 이용해 partition of unity가 존재함을 보인다.

Proof.

1. Define \[ f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x}}, & \mbox{if $x>0$}\\ 0, & \mbox{if $x\leq 0$}. \end{cases} \]
2. Define $g(x)=f(x)\cdot f(1-x)$.
3. Define $h(x_1, \ldots, x_n)=\prod_{i=1}^n g\left(\frac{x_i-a_i}{b_i-a_i}\right)$.

• 위의 보조정리에서 (ii)와 (iii)의 $g$나 $h$를 cut-off function이라 부른다.

이제 (드디어!) Partition of unity가 존재함을 보이자.

Proof.[of existence of a partition of unity] 보조정리 \ref{lem:cptexhaustion}\을 이용하여 $U=\bigcup_{i=1}^\infty K_i$인 $ U$의 compact exhaustion $\{K_i\}_{i\in\mathbb{N}}$를 택할 수 있다. 이때 모든 $i\in\mathbb{N}$에 대하여 $K_i$는 compact이고 $K_i\subset \operatorname{K_{i+1}}$이다.\par 또한 %$\mathbb{R}^n$의 두 조건 %열린상자들의 모임은 보통위상공간의 한 basis이므로

[-]
• $U=\bigcup_{a}R_a$
• 모든 $R_a$에 대하여 $\overline{R_a}\subset U_\alpha$, for some $U_\alpha$.

를 만족시키는 $\mathbb{R}^n$의 열린상자들의 모임 $\{ R_a\}$도 잡을 수 있다. (이의 증명은 $\mathbb{R}^n$이 거리공간이기 때문에 어렵지 않지만, 여기서는 생략하자.) 물론 $\{R_a\}$는 $U$의 한 open cover이고 특히 모든 \(K_i\)의 open cover이다. 이때 $K_2$를 덮는 $\{R_a\}$의 finite subcover $\{ R_{2_1}, \ldots, R_{2_n}\}$가 존재하며, 보조정리 \ref{lem:cutoffftn}에 의해 이들 각 $R_{2_k}$들 위에서의 cut-off function $h_{2_k}$가 존재한다.\par 이제 $j\geq 3$인 자연수 $j$에 대하여 $K_{j}\setminus\operatorname{int}(K_{j-1})$은 compact이며 $\operatorname{int}(K_{j+1})\setminus K_{j-2}$는 열린집합임을 상기하자. 또한 compact exhaustion의 성질덕분에 \[ K_{j}\setminus \operatorname{int}(K_{j-1})\subset \operatorname{int}(K_{j+1})\setminus K_{j-2} \] 가 성립하는 것도 알고 있다. \begin{figure}[ht!] \begin{center} \includegraphics[width=.3\textwidth]{example-image} \end{center} \end{figure} 여기서 또

[-]
• $\operatorname{int}(K_{j+1})\setminus K_{j-2}=\bigcup_{a}R_a$
• 모든 $R_a$에 대하여 $\overline{R_a}\subset U_\alpha$, for some $U_\alpha$

를 만족시키는 열린상자들의 모임 $\{R_a\}$를 다시 잡을 수 있다. 그러면 compact set인 $K_j\setminus\operatorname{int}(K_{j-1})$를 덮는 finite subcover $\{ R_{j_1}, \ldots, R_{j_m}\} $을 잡을 수 있고 이들 각 상자 위에서 정의된 cut-off function $h_{j_k}$들이 존재한다. 이와 같이 모든 $3$이상의 모든 $j\in \mathbb{N}$에 대하여 $K_j\setminus\operatorname{int}(K_{j-1})$를 덮는 유한개의 상자들이 있고 그들 각각의 상자 위에서 정의된 cut-off function들이 있다. 또한 $K_2$를 덮는 유한개의 상자들 위에 정의된 cut-off function들도 있다. 이러한 cut-off function들을 모두 모아 만든 집합은 가산집합이므로 이를 $\{g_i : U\to [0, 1]\}_{i\in\mathbb{N}}$으로 둘 수 있다. 물론 모든 $g_i$는 $C^\infty$-function이다. 또한 모든 열린상자 $R_a$는 그의 폐포가 적당한 $U_\alpha$의 부분집합이되므로, 임의의 cut-off function $g_i$에 대하여 \[ \overline{\operatorname{supp}(g_i)}\subset U_\alpha \] 를 만족시키는 $U_\alpha$가 존재한다. 또한 모든 $K_j\setminus\operatorname{int}(K_{j-1})$가 유한개의 상자들로 덮히며, $K_j\setminus\operatorname{int}(K_{j-1})$와 만나는 $\operatorname{int}(K_{i})\setminus K_{i-2}$는 많아야 2, 3개이므로 $K_j\setminus\operatorname{int}(K_{j-1})$의 모든 점은 유한개의 상자하고만 만나는 적당한 근방이 존재한다. 따라서 집합 $\{\operatorname{supp}(g_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$은 locally finite이다.\par 따라서 임의의 $x\in U$에 대하여 $\sum_{i=1}^{\infty}g_i$의 값이 잘 정의되며 특히 그 함숫값은 항상 양수이다. 왜냐하면 $U$의 임의의 점은 $K_2$ 혹은 $K_{j}-\operatorname{int}(K_{j-1})$에 속하므로 적어도 하나 이상의 열린 상자에 속하고 이는 그 열린 상자 위에서의 cut-off function의 값에 의해 $\sum_{i=1}^{\infty}g_i$의 값이 양수가 된다. 이제 $h_i : U\to [0, 1]$을 \[ h_i:=\frac{g_i}{\sum_{j=1}^{\infty}g_j} \] 로 정의하면 $\{h_i\}_{i\in\mathbb{N}}$가 바로 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in\mathscr{A}}$의 한 partition of unity이다.