마침 잉여력이 좀 있어서 풀어 본 중등임용시험 2점짜리 기출문제이다. 첫 문제 정도로 나오는 매운 쉬운 문제인 듯 하다.
일단 문제를 보자마자, \(\sin\sqrt{x}\) 때문에, 간단히 식이 정리되어야만 함을 직감할 수 있다. 그리고 물론 식이 아주 간단하게 정리된다.
문제. 좌표평면에서 영역 \(D\)가 \[ D=\left\{ (x, y)\in \mathbb{R}^2 \mid 0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 9\right\} \] 일 때, 함수 \(f : D\to \mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자. \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} y, & y\geq \sin\sqrt{x} \\ \sin\sqrt{x}, & y<\sin\sqrt{x} \end{array}\right. \] 두 반복적분의 합 \[ \int_0^2\!\!\int_0^9 f(x, y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x+\int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}}(y-\sin\sqrt{x})\mathrm{d}y\mathrm{d}x \] 의 값을 구하시오.
풀이. 첫 번째 항의 적분을 먼저 생각해보자. 반복적분 및 리만적분의 성질에 의해 \begin{align*} \int_0^2\!\!\int_0^9 f(x, y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x & = \int_0^2\!\!\left(\int_0^{\sin\sqrt{x}} \sin\sqrt{x}\mathrm{d}y+\int_{\sin\sqrt{x}}^9y\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x \\ & = \int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}} \sin\sqrt{x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x +\int_0^2\!\!\int_{\sin\sqrt{x}}^9 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x \end{align*} 이다. 따라서 \begin{align*} \int_0^2\!\!\int_0^9 f(x, y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x + & \int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}}(y-\sin\sqrt{x})\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\ & = \int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}} \sin\sqrt{x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x +\int_0^2\!\!\int_{\sin\sqrt{x}}^9 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\ &\qquad\qquad + \int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}} y\mathrm{d}y\mathrm{d}x - \int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}} \sin\sqrt{x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\ & = \int_0^2\!\!\int_{\sin\sqrt{x}}^9 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x + \int_0^2\!\!\int_0^{\sin\sqrt{x}} y\mathrm{d}y\mathrm{d}x \\ & = \int_0^2\!\!\left(\int_{\sin\sqrt{x}}^9 y\mathrm{d}y + \int_0^{\sin\sqrt{x}} y\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x \\ & = \int_0^2\!\!\int_{0}^9 y\mathrm{d}y\mathrm{d}x =\int_0^2 \frac{81}{2}\mathrm{d}x =81 \end{align*} 이다.